Tema 3_1 TS.pdf - Tema 3.1 “MODELADO DE SISTEMAS...

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Unformatted text preview: Tema 3.1. “MODELADO DE SISTEMAS DISCRETOS. TRANSFORMADA Z” 2216-­‐Teoría de Sistemas Grado en Ing. Eléctrica. Profesor: David Úbeda González Departamento: Ingeniería de Sistemas y AutomáIca. Tema 3.1 © Luís Payá Castelló Bajo Licencia CreativeCommons BY-NC-SA 3.0 (2014) Bloque 3: Sistemas Discretos (Repaso) Sistemas discretos. •  La entrada y la salida son secuencias. •  Sistemas intrínsecamente discretos Tipos (Tema 3.1). •  Sistemas resultantes de discreIzar un sist. conInuo. (Temas 3.2 y 3.3). Secuencias x[k] x à elemento. k à orden que ocupa en la secuencia: k= 0, 1, 2, 3, … x[k ] = {x[0], x[1], x[2], x[3], …} x[k ] = {1, 4, 7, 0, 0, 0, …} Bloque 3: Sistemas Discretos (Repaso) •  Las secuencias se pueden formar por muestreo de señales: -­‐ Se fija un periodo de muestreo, T, siguiendo algún criterio y se toman muestras. Tipos importantes de secuencias. Escalón. ⎧0 si k < 0 u[k ] = ⎨ ⎩1 si k ≥ 0 Impulso. ⎧0 si k ≠ 0 δ [k ] = ⎨ ⎩1 si k = 0 Bloque 3: Sistemas Discretos (Repaso) Comportamiento de los Sistemas Lineales e Invariantes: y[k ] + a1 ⋅ y[k − 1] + … + an ⋅ y[k − n] = b0 ⋅ u[k ] + b1 ⋅ u[k − 1] + … + bm ⋅ u[k − m] –  Ecuación en diferencias: La salida actual depende linealmente de salidas anteriores y de la entrada actual y anteriores. –  Ecuación en diferencias è Transformada Z è Función de transferencia en z. •  Ejemplo de sistema discreto: Balance de una cuenta bancaria al final de cada mes: y[k] = saldo al final del mes k. y[k ] = y[k − 1] + 0.01⋅ y[k − 1] + u[k ] u[k] = ingresos durante el mes k. •  Ejemplo de sistema discreto: Evolución de la población de peces: p[k ] = p[k − 1] + 0.3 ⋅ p[k − 1] − c[k ] p[k] = población al final del año k. c[k] = capturas durante el año k. Bloque 3: Sistemas Discretos (Repaso) •  Secuencia de ponderación g[k]: Respuesta ante entrada impulso g[k] sirve como modelo matemá@co del sistema discreto: k y[k ] = u[k ]* g [k ] = ∑ u[n]⋅ g [k − n] n =0 Convolución discreta. Tema 3.1. Modelado de Sistemas Discretos. Índice: 1.  Transformada Z. 2.  Función de transferencia G(z). 3.  Ejemplos de modelado de sistemas discretos. a.  b.  c.  d.  Definición. Propiedades. Cálculo de la transformada Z. Transformada Z inversa. 1. Transformada Z. -­‐  -­‐  Sistemas conInuos è Transformada de Laplace. Sistemas discretos è Transformada Z. a)  Definición de Transformada Z: •  La transformada Z de una secuencia x[k] se define como: ∞ Z x[k ] ⎯⎯→ X (z ) = ∑ xk z −k z ∈C k =0 Esta transformación simplifica la resolución de ecuaciones en diferencias. •  La transformada Z inversa se puede calcular como: X (z ) 1 k −1 ⎯⎯→ ⎯ x[k ] = X (z )⋅ z dz ∫ 2πj C Z −1 Se realiza una integral de línea sobre una curva cerrada C es un círculo con centro en el origen del plano z que debe contener todos los polos de X(z)·∙zk-­‐1. 1. Transformada Z. b) Propiedades de la Transformada Z: 1 2 Z {a ⋅ x1[k ]+ b ⋅ x2 [k ]} = a ⋅ X1 (z ) + b ⋅ X 2 (z ) Linealidad Z {x[k − 1]} = z −1 ⋅ X (z ) Desplazamiento en el Iempo −n Z {x[k − n]} = z ⋅ X (z ) 3 Teorema del valor inicial 4 Teorema del valor final 5 Teorema de convolución { [ ]} Z x k = X z ⎯ ⎯→ x0 () = lim X (z ) z →∞ [( Z {x[k ]} = X (z ) ⎯ ⎯→ x∞ = lim 1 − z z →1 −1 Sólo se puede aplicar a sistemas estables. Z {x[k ]∗ y[k ]} = X (z )⋅ Y (z ) )⋅ X (z )] 1. Transformada Z. c) Cálculo de la Transformada Z: 1 2 Secuencia con un x[k ] = {3, 5, 2, 1, 0, 0, 0, …, 0} número finito de −1 −2 −3 ( ) ⇒ X z = 3 + 5 z + 2 z + z términos ∞ Z x[k ] ⎯⎯→ X ( z ) = ∑ xk z − k k =0 δ [k ] = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, … , 0} ⇒ Δ (z ) = 1 Impulso unitario 3 Escalón unitario u [ k ] = { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … , 1 } −1 −2 ∞ −3 ⇒ U (z ) = 1 + z + z + z + … = ∑ z −k k =0 4 Exponencial { } x[k ] = 1, a, a 2 , a 3 , a 4 , … 1 z = = −1 1− z z −1 −k 1 1 z ⎛ z ⎞ ⇒ X (z ) = 1 + az + a z + a z + … = ∑ ⎜ ⎟ = = = −1 −1 1 − az z−a 1 − (z a ) k =0 ⎝ a ⎠ −1 2 −2 3 −3 ∞ 1. Transformada Z. c) Cálculo de la Transformada Z: Tabla de transformadas Z 1. Transformada Z. d) Transformada Z inversa: Existen 3 métodos. Z x [k ] = {x0 , x1 , x2 , x3 ,…} ⎯⎯→ X (z ) = x0 + x1 z −1 + x2 z −2 + x3 z −3 + … è  Debemos calcular los coeficientes x0, x1, x2, x3,… −1 N (z ) N z = Método X(z) será normalmente un cociente de polinomios en z: X (z ) = −1 D (z ) D z de la división Método: larga. Paso 1: Expresar X(z) en potencias de z-­‐1. Paso 2: Dividir N(z-­‐1) D(z-­‐1) x0 + x1z-­‐1 + x2z-­‐2 + x3z-­‐3+… à Coeficientes x0, x1, x2,… buscados 3.1_a 1 z Ejemplo 1: Calcular la transformada z inversa de X(z): X (z ) = z −3 k Solución: x[k ] = {1, 3, 9, 27, 81,…} = 3 ( ) ( ) 3.1_b 1. Transformada Z. d) Transformada Z inversa: Método 2. Caso 1: Sólo polos simples. A3 N (z −1 ) N (z −1 ) A1 A2 X (z ) = = = + + − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −1 D(z ) (1 − a1 z )⋅ (1 − a2 z )⋅ (1 − a3 z ) 1 − a1 z 1 − a2 z 1 − a3 z k k k ⎯Z⎯→ ⎯ x[k ] = A ⋅ a + A ⋅ a + A ⋅ a −1 2 1 1 2 2 3 3 Descomp. en fracciones Caso 2: Algún polo mú[email protected] simples k3 N (z −1 ) N (z −1 ) A1 k1 k2 X (z ) = = = + + + 3 2 −1 − 1 − 1 −1 −1 3 D(z ) (1 − a1 z −1 )⋅ (1 − a2 z −1 ) 1 − a1 z 1 − a2 z (1 − a2 z ) (1 − a2 z ) 1 k Z −1 k k k ⎯⎯→ ⎯ x[k ] = A1 ⋅ a1 + k1 ⋅ a2 + k 2 ⋅ a3 ⋅ (k + 1) + k3 ⋅ ⋅ a3 ⋅ (k + 1)⋅ (k + 2) 2 1. Transformada Z. Ejemplo 2: Calcular la transformada z inversa de X(z): 2 3.1_c z a) X (z ) = 2 z − 3z + 2 Solución: x[k ] = 2 3.1_d 1 b) X (z ) = 2 z − 3z + 2 k =0 ⎧0 Solución: x[k ] = ⎨ k −1 ⎩2 − 1 k > 0 3.1_e z c) X (z ) = 2 (z − 1) ⋅ (z − 2) Solución: x[k ] = 2k − k − 1 = {0, 0, 1, 4, 11,…} k +1 − 1 = {1, 3, 7, 15,…} x[k ] = {0, 0, 1, 3, 7, 15,…} 1. Transformada Z. d) Transformada Z inversa: Método 3. Se basa en aplicar la fórmula de la transformada z inversa: 1 Z −1 k −1 k −1 ⎯ x[k ] = X (z )⋅ z dz = Res X (z )⋅ z X (z ) ⎯⎯→ 2πj C Polos ( ) ( ) N z N z Cálculo de residuos de una función F(z): F (z ) = = 2 ( ) D z (z − a1 )(z − a2 ) ∑ [ ∫ 3 Método de los residuos ·∙ Polo simple z = a1: Res[F (z )] = [(z − a1 )⋅ F (z )]z =a1 z = a1 ·∙ Polo doble z = a2: ⎡ N (z ) ⎤ = ⎢ 2 ⎥ ⎣ (z − a2 ) ⎦ z =a1 1 ⎧ d d ⎡ N (z ) ⎤ ⎫ 2 Res[F (z )] = ⎨ (z − a2 ) ⋅ F (z ) ⎬ = ⎢ ⎥ 1! ⎩ dz z = a2 ⎭ z =a2 dz ⎣ (z − a1 )⎦ z =a2 [ 1. Transformada Z. Ejemplo 3: Calcular la transformada z inversa de X(z): 2 3.1_f z a) X (z ) = 2 z − 3z + 2 Solución: x[k ] = 2 3.1_g 1 b) X (z ) = 2 z − 3z + 2 k =0 ⎧0 Solución: x[k ] = ⎨ k −1 ⎩2 − 1 k > 0 3.1_h z c) X (z ) = 2 (z − 1) ⋅ (z − 2) Solución: x[k ] = 2k − k − 1 = {0, 0, 1, 4, 11,…} k +1 − 1 = {1, 3, 7, 15,…} x[k ] = {0, 0, 1, 3, 7, 15,…} 2. Función de transferencia en Z. Sistema discreto: relación entre la secuencia de entrada u[k] y la de salida y[k] es una ecuación en diferencias (Análogo a Ecuación Diferencial en Sist. [email protected]): y[k ]+ a1 ⋅ y[k − 1]+ a2 ⋅ y[k − 2]+ … + an ⋅ y[k − n] = b0 ⋅ u[k ]+ b1 ⋅ u[k − 1]+ … + bn ⋅ u[k − n] 1. Si aplicamos la transformada z a ambos lados: −1 −2 −n −1 −n Y (z ) + a1 ⋅ z ⋅ Y (z ) + a2 ⋅ z ⋅ Y (z ) + … + an ⋅ z ⋅ Y (z ) = b0 ⋅U (z ) + b1 ⋅ z ⋅U (z ) + … + bn ⋅ z ⋅U (z ) [ −1 −2 Y (z )⋅ 1 + a1 z + a2 z + … + an z −n = U (z )⋅ [b + b ⋅ z 0 1 −1 + … + bn ⋅ z −n 2. A conInuación, despejamos la relación entra la salida y la entrada: −1 −n b0 + b1 ⋅ z + … + bn ⋅ z Y (z ) G (z ) = = −1 −2 −n U (z ) 1 + a1 z + a2 z + … + an z è Función de transferencia del sistema discreto. Relaciona la transformada Z de la salida con la transformada Z de la entrada. 2. Función de transferencia en Z. Por tanto, trabajaremos con los sistemas discretos de forma análoga a como lo hacíamos con los sistemas conInuos: Y (z ) = G(z )⋅U (z ) −1 −n b0 + b1 ⋅ z + … + bn ⋅ z Y (z ) G (z ) = = U (z ) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + … + an z −n 3. Modelado de sistemas discretos. 3.1_i Pasos para modelar un sistema discreto: 1.  El punto de parIda es la ecuación o ecuaciones en diferencias del sistemas. (Relaciones entre u[k] e y[k]). 2.  Calculamos el punto de funcionamiento. 3.  Linealizamos y expresamos en variables incrementales. 4.  Transformamos al dominio Z. Y (z ) 5.  Calculamos la función de transferencia en Z: G (z ) = U (z ) a.  Despejando de las ecuaciones. b.  Construyendo el diagrama de bloques y simplificando. 1. Transformada Z. Ejemplo 4: Explotación de madera en un bosque. 3.1_j Se desea modelar el funcionamiento de una explotación de madera en un bosque. Se supone que cada año aumenta el número y el tamaño de los árboles del bosque, de modo que se puede hablar de una cierta canIdad de madera viva disponible que aumenta año a año y que se puede medir en toneladas. Por otra parte, cada año se tala un cierto número de árboles, que también se puede medir en toneladas. Se uIlizarán las siguientes variables: ·∙ m[k] = total de árboles en el bosque (medido en toneladas de madera viva) al final del año k. ·∙ t[k] = toneladas de madera taladas durante el año k. Si suponemos que el crecimiento anual del bosque es del 5%, se pide: 1. Plantear la ecuación en diferencias del sistema (relación entre m[k] y t[k]). 2. Punto de funcionamiento definido por m0 = 5000 (toneladas de madera viva en el bosque). 3. Fdt que relaciona la canIdad de madera al final de cada año con las talas anuales. 4. Tiempo que tarda en duplicarse la canIdad de madera viva si las talas disminuyen bruscamente un 10% desde la situación de equilibrio. 5. CanIdad de madera viva en el bosque en régimen permanente en la situación anterior. 1. Transformada Z. Ejemplo 5: 3.1_k El sistema de la figura responde ante entrada u[k] = {1, 2, 1, 0, 0, 0, …} con la salida y[k] = {0, 2, 3, 0, 0, 0, …} Se pide calcular: 1. Ecuación en diferencias del sistema completo (relación entre u[k] e y[k]). 2. Función de transferencia del bloque F (F(z)). 3. Si la entrada fuera la secuencia u1[k] = {1, 1, 0, 0, 0, 0, …}, calcular la secuencia de salida y1[k] en t=1, t=2 y t=3 segundos (suponer que el periodo de la secuencia es T=1 segundo) 1. Transformada Z. Ejemplo 6: 3.1_l En el sistema de la figura se conocen las secuencias x[k] e y[k]. x[k] = {1, 2, 1, 0, 0, 0, …} y[k] = {0, 2, 4, 6, 0, 0, 0, …} Se pide calcular: 1. Ecuación en diferencias del sistema completo (relación entre x[k] e y[k]). 2. Función de transferencia del bloque F. ...
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  • Fall '19
  • Punto, Curva, Ecuación, Ecuación diferencial, Transformada

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