INTEGRACION.pdf - C A\u00b4 LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Francisco Javier P\u00b4erez Gonz\u00b4alez Departamento de An\u00b4alisis Matem\u00b4atico Universidad de Granada

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Unformatted text preview: C A´ LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Francisco Javier P´erez Gonz´alez Departamento de An´alisis Matem´atico Universidad de Granada septiembre 2007 ´Indice general 1. Axiomas de los n´ umeros reales. Desigualdades. Principio de inducci´ on 1 ´ 1.1. Numeros reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Principio de inducci´on matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Funciones reales. Funciones elementales 11 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Funciones polin´omicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´ 2.2.2. Ra´ıces de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.5.1. Inter´es compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.5.2. Crecimiento demogr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.6. Funci´on potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.7. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I ´Indice general II 2.2.7.1. Medida de a´ ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . 20 2.2.7.4. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . . . . 21 2.2.8. Las funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.8.1. Las funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3. N´ umeros complejos. Exponencial compleja 26 ´ 3.1. Operaciones b´asicas con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ 3.1.1. Forma cartesiana de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 3.1.1.1. Comentarios a la definici´on usual i = −1 . . . . . . . . . . . . . 27 27 3.1.1.2. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica . . 28 3.1.2. Representaci´on gr´afica. Complejo conjugado y m´odulo . . . . . . . . . . . 28 ´ 3.1.3. Forma polar y argumentos de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.3.1. F´ormula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ´ 3.1.4. Ra´ıces de un numero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1. La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Continuidad 38 4.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1. Propiedades b´asicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ´ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5. Sucesiones 45 ´ 5.1. Sucesiones de numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico 46 Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´Indice general III 5.1.1. Sucesi´on de elementos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.2. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.3. Sucesiones mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ´ 5.1.3.1. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.4. Propiedades de las sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . . . . 51 5.1.6. Condici´on de Cauchy. Teorema de complitud de R . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el c´alculo de l´ımites . . . . . . . . 53 5.2.1. Sucesiones de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ´ 5.3. Sucesiones de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. L´ımite funcional 59 6.1. M´aximos y m´ınimos absolutos. Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2. L´ımite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2.1. L´ımites laterales de una funci´on en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2.2. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2.2.2. L´ımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ´ 6.3. Discontinuidades. Algebra de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3.1. Clasificaci´on de las discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3.2. Continuidad y monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4. Indeterminaciones en el c´alculo de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.4.1. L´ımites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7. Derivadas 69 7.1. Concepto de derivada. Interpretaci´on f´ısica y geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.1.2. Raz´on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.1.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´Indice general IV 7.1.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivaci´on . . . . . . . 72 7.1.4.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.1.4.2. Derivabilidad de las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . 74 7.1.4.3. Derivabilidad de las funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . 74 7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.2. Reglas de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.4. Consejos para calcular l´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.4.1. L´ımites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.4.2. Funciones asint´oticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.4.2.1. Notaci´on de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.5. Consejos para calcular l´ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.5.1. La indeterminaci´on 1∞ . Sucesiones asint´oticamente equivalentes . . . . . 88 7.5.2. Definici´on de la funci´on exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.7. Funciones convexas y funciones c´oncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8. Integral de Riemann 102 8.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1.1. Definici´on y propiedades b´asicas de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.1.2. El Teorema Fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.1.2.1. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1.3. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.2.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3. T´ecnicas de c´alculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3.1. Calcular una primitiva...¿Para qu´e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3.2. Observaciones sobre la notaci´on y terminolog´ıa usuales . . . . . . . . . . . 117 Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´Indice general V 8.3.3. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.3.4.1. Integraci´on por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.3.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.3.6. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.3.8. Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.3.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.3.10. Integraci´on por racionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.3.10.1. Integraci´on de funciones del tipo R(sen x, cos x) . . . . . . . . . . . 126 8.3.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 w  8.3.11.1. Integrales del tipo R x, [L(x)]r , [L(x)]s , . . . dx . . . . . . . . . . . 129 8.3.11.2. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 w 8.3.11.3. Integrales del tipo R(ex ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 √ 8.3.11.4. Integraci´on de funciones del tipo R(x, ax 2 + bx + c) . . . . . . . 131 8.3.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.4. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.4.1. C´alculo de a´ reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.4.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.4.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.4.3. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ´ 8.4.3.1. Area encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 ´ 8.4.4.1. Areas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.4.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ´ 8.4.8. Volumenes de s´olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.4.8.1. Volumen de un cuerpo de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.4.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´Indice general VI 8.4.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ´ 8.4.11. Area de una superficie de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9. Series 149 9.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.1.1. Serie geom´etrica, arm´onica y arm´onica alternada . . . . . . . . . . . . . . 150 9.1.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . 153 9.2. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos . . . . . . . . . . . . . 154 9.2.1. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.2.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.3.1. Funciones definidas por series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.3.1.1. Convergencia de las series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.3.1.2. Desarrollos en serie de las funciones elementales . . . . . . . . . 164 9.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10. C´alculo diferencial en Rn 169 10.1. Estructura eucl´ıdea y topolog´ıa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.1.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 10.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.1.3. Sucesiones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.2. Campos escalares. Continuidad y l´ımite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.2.1. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.3. Derivadas parciales. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.3.1. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 176 10.3.2. Campos escalares diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.4. Rectas tangentes y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.4.1. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.4.2. Superficies en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.4.3. Curvas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.4.4. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´Indice general VII 10.4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.6. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.6.1. Derivadas parciales de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.7. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.7.1. Teorema de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.7.3. C´alculo de extremos en conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.7.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.8. Derivaci´on de funciones impl´ıcitamente definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 10.8.1. Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10.8.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11. Integrales m´ ultiples 210 11.1. Integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.1.1. Interpretaciones de las integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.2. C´alculo de integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.2.1. Integrales iteradas. Teorema de Fubini elemental . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.2.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.2.2.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.2.2.2. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.2.2.3. Interpretaci´on intuitiva de la f´ormula del cambio de variables . . 222 11.2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Universidad de Granada Dpto. de An´alisis Matem´atico Prof. Javier P´erez C´alculo diferencial e integral ´ Leccion 1 ´ Axiomas de los numeros ´ reales. Desigualdades. Principio de induccion Introducci´ on En esta lecci´on quiero que entiendas la importancia de disponer de un “marco de referencia”. Tratar´e de explicarme. Para empezar, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. 1. ¿Sabes probar que 0 x = 0? Int´entalo. 2. ¿Qu´e entiendes por −x? ¿Es cierto que −x es negativo? 3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad (−x)y = −xy. ¿Sabes probarla? 4. Demuestra que si x , 0 entonces x2 > 0 (en consecuencia 1 > 0). 5. ¿Sabes por qu´e no se puede dividir por 0? √ √ 2. ¿Y de longitud 3? √ ´ 7. ¿Qu´e quiere decir que un numero no es racional? Demuestra que 2 no es racional. 6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud ´ Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los numeros que has olvidado cu´ando las aprendiste. ¡Y ahora te piden que las demuestres! Puedo imaginar tu reacci´on ¿que demuestre que 0 x = 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es as´ı! ¿c´omo se puede demostrar tal cosa?. Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio est´a en que no sabes qu´e es exactamente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones lo m´as frecuente es “quedarse colgado” con la mente en blanco sin saber qu´e hacer. Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en ´ unas propiedades de los numeros (axiomas, si quieres llamarlas as´ı) que vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia l´ogica usuales y con definiciones apropiadas nos permitir´an demostrar resultados (teoremas) que podremos usar para seguir avanzando...
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  • Summer '17
  • juan alberto
  • The Land, Punto, Curva, Número complejo, Logaritmo, Polinomio, Universidad de Granada

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