06 2 Flujo Máximo.pdf - Capítulo 6 FLUJO MÁXIMO Clase 2 Prof Mathias Klapp Contenidos del capítulo 1 Introducción a problemas de flujo y

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Capítulo 6 FLUJO MÁXIMO Clase 2 Prof. Mathias Klapp
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Contenidos del capítulo 1. Introducción a problemas de flujo y propiedades básicas. 2. Relaciones entre cortes y flujo. 3. Algoritmo de ruta aumentable. 4. Aplicaciones del problema de flujo máximo. 5. Algoritmo de empuje de preflujo.
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Teorema mínimo corte - máximo flujo (débil) El máximo valor de flujo está acotado por el corte ? − ? de menor capacidad: max ? factible ? ? ≤ ??? 𝑄 𝑐???𝑒 ?−? ?(𝑄)
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Algoritmo de ruta aumentable
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Primer algoritmo desarrollado para el PFM. En cada iteración: Busca una `` ruta aumentable’’ desde ? hacia ? , es decir, una ruta ? = (? 1 = ?, ? 2 , … , ? ?−1 , ? ? = ?) con capacidad positiva. Capacidad de una ruta: min 𝑎∈? ? 𝑎 Luego, envía esa capacidad flujo de ? a ? . Se itera hasta no encontrar más rutas aumentables. Algoritmo de ruta aumentable (1956)
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Lester Randolph Ford (1927-2017) Delbert Ray Fulkerson (1924-1976) También se llama Algoritmo de Ford-Fulkerson Autores de este libro:
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Algoritmo de ruta aumentable Consideremos el siguiente grafo con capacidades y una solución factible . 2 4 3 1 ? ? 8 8 7 6 1 Observemos la ruta 1-3-4. ¿Qué oportunidad representa esta ruta? 8 7 1 4 5
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Algoritmo de ruta aumentable Aumentando el flujo en una unidad en la ruta 1-3-4 obtenemos la siguiente solución: 2 4 3 1 ? ? 8 8 7 6 1 Pareciera que no hay más rutas aumentables... ¿o sí? Observemos la ruta (no dirigida) 1-3-2-4. ¿Qué oportunidad representa esta ruta? 8 7 1 5 6 +𝚫 −𝚫 +𝚫
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Algoritmo de ruta aumentable ¿Quédan más rutas aumentables? 2 4 3 1 ? ? 8 8 7 6 1 No, pues hay cortes ? − ? saturados. Por ejemplo: 𝑄 = {1,2} 8 8 0 6 6
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Algoritmo de ruta aumentable Del resultado anterior observamos que es posible que sea necesario reducir el flujo en algún arco para encontrar una ruta aumentable. Resultaría útil contar con una representación de cuánto flujo podríamos aumentar (o reducir) en cada arco. Definiremos con este propósito el grafo residual.
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Grafo residual El grafo residual ? ? ? = ?, 𝐴 ? (?) indica, dado un flujo factible ? , el flujo adicional que se puede enviar, o reducir, en cada arco.
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  • Winter '18
  • 212

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