Certamen 2 - Matemáticas III (2009).pdf - UTFSM Departamento de Matem´atica Valpara´ıso 27 de Mayo de 2009 Duraci´on 100 minutos MAT-023 2009-1

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UTFSM Departamento de Matem´atica. Valpara´ ıso, 27 de Mayo de 2009. Duraci´on: 100 minutos . MAT-023. 2009-1. Certamen 2 Nombre del alumno: ROL: Profesor: ————————————— ————— ——————————– 1. Considere el siguiente modelo en din´amica poblacional: dy dt = r 1 - y k · y - Ey, donde 0 < E < r, k 6 = 0 . a ) Hallar y clasificar las soluciones de equilibrio. b ) Si y (0) = k 2 ( 1 - E r ) , r 6 = 0. Bosquejar la soluci´on para este caso usando la l´ ınea de fase. Determine l´ ım t →∞ y ( t ). c ) ¿Existen valores de los par´ametros E, k, r tal que dos puntos cr´ ıticos consecutivos sean atractores? Soluci´on. Sea f ( y ) = r ( 1 - y k ) y - Ey . Entonces a ) f ( y ) = 0 si y s´olo si y 1 = 0 o y 2 = k (1 - E/r ). Luego, las soluciones de equilibrio son y 1 ( t ) = 0 e y 2 ( t ) = k (1 - E/r ). Para clasificar contamos con dos alternativas. La primera es considerar la derivada de f ( y ) que da f 0 ( y ) = - 2 r k y + r - E , y evaluar en los puntos cr´ ıticos. Se obtiene f 0 (0) = r - E > 0 y 1 = 0 es un repulsor o fuente. f 0 ( k (1 - E/r )) = E - r < 0 y 2 = k (1 - E/r ) es un atractor o sumidero. Note que este comportamiento es independiente del signo de k . La segunda alternativa es evaluar f para ciertos valores de y . Ac´a debemos imponer el signo de k . Se puede descartar k < 0 pues se trata de un modelo de poblaciones. Si k > 0, primero elegimos y 1 < y < y 2 . Por ejemplo y = k 2 (1 - E/r ). Al evaluar da f k 2 (1 - E/r ) = kr 4 (1 - E/r ) 2 > 0 , y entonces y 1 = 0 es repulsor. Ahora evaluamos para y > y 2 , por ejemplo y = 2 k (1 - E/r ) que entrega - 2 rk (1 - E/r ) 2 < 0 y luego y 2 es un atractor. An´alogo si k < 0. Evaluar para y 2 < y < y 1 , ejemplo y = k 2 (1 - E/r ) implica que y 1 es repulsor y para y < y 2 , ejemplo y = 2(1 - E/r ) implica que y 2 es atractor.
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  • Spring '16
  • Erick inda

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