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Unformatted text preview: 第 4 章 线性控制系统的计算机辅助分析 19/10/24 1 系统的分析方法 充分利用计算机对线性系统进行分析 更新系统分析的观念 求解传统方法难以求解的问题 离散系统稳定性如何分析? Nyquist 图、 Nichols 图没有频率信息,如何弥补 ? 高阶系统的根轨迹如何绘制? 19/10/24 2 本章主要内容 线性系统定性分析 线性系统时域响应解析解法 线性系统的数字仿真分析 根轨迹分析 线性系统频域分析 19/10/24 3 4.1 线性系统定性分析 主要内容 线性系统稳定性分析 线性反馈系统内部稳定性分析 线性系统的相似变换 线性系统可控性分析 线性系统可观测性分析 Kalman 分解 系统状态方程的标准型 19/10/24 4 4.1.1 线性系统的稳定性分析 给定线性系统模型,如何分析稳定性? 由控制理论可知,用 Routh 表 可以判定该系统稳定性 Edward John Routh (1831-1907) 历史局限性 19/10/24 5 状态方程系统的稳定性 连续线性状态方程 解析阶 稳定性: 矩阵的特征根均有负实部 19/10/24 6 离散系统的稳定性 离散系统状态方程 离散系统时域响应解析阶 稳定性判定:所有特征根均在单位圆内 19/10/24 7 Routh 判据的历史局限性 Routh 判据提出时,没有求多项式根的方法 现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的 根轻而易举,无需间接方法 Routh 判据只能得出是否稳定,进一步信息 得不出来,如系统是否振荡 离散系统无法由 Routh 方法直接判定,得 借助于 Jury 判据,更复杂 稳定性分析方法不统一 19/10/24 8 基于 MATLAB 的稳定性判定方法 直接判定 状态方程模型 由 可以求出所有特征根 离散系统: 传递函数模型:完全同样方法 图解判定法 连续系统: 离散系统: 19/10/24 ,同时画出单位圆 9 例 4-1 高阶系统稳定性判定 直接分析方法 零极点模型 19/10/24 10 例 4-2 高阶离散单位负反馈系统模型 MATLAB 求解 19/10/24 11 4.1.2 线性反馈系统的内部稳定 性 输入、输出稳定是不够的,因为若内部信 号可能过大,对系统的硬件破坏 应该引入内部稳定性概念,保证内部信号 也是稳定的。 19/10/24 12 由给定稳定输入 到内部信号 都稳定的系统称为内部稳定系统 传递函数矩阵 其中 逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐 内部稳定性定理 19/10/24 13 内部稳定性定理 闭环系统内部稳定的充要条件为 没有不稳定零点 没有不稳定零极点对消 第一个条件等效于输入输出稳定性 判定第 2 条件即可 可以编写 MATLAB 函数判定内部稳定性 19/10/24 14 判定的 MATLAB 函数 19/10/24 15 4.1.3 线性系统的线性相似变换 系统的状态方程表示称为系统实现 不同状态选择下,状态方程不惟一 相似变换 非奇异矩阵 状态变换 新状态方程模型 19/10/24 16 状态变换公式 MATLAB 求解方法 19/10/24 17 例 4-3 已知系统和转换矩阵 MATLAB 求解 19/10/24 18 变换结果 可见,相似变换能改变系统的结构 引入相似变换矩阵,可以将已知系统转换 成其他的形式 19/10/24 19 4.1.4 线性系统的可控性分析 可控性定义 系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外 部输出信号控制的性质, 19/10/24 20 线性系统的可控性判定 可控性判定矩阵 基于 MATLAB 的判定方法 构造可控性判定矩阵 19/10/24 21 例 4-4 离散状态方程的可控性 MATLAB 求解 19/10/24 22 判定矩阵 判定矩阵构造方法 这样的判定方法同样适合于连续系统和离 散系统。也适用于多变量模型 19/10/24 23 由 Gram 矩阵判定可控性 引入可控 Gram 矩阵 该矩阵满足 Lyapunov 方程 MATLAB 求解 矩阵构造 19/10/24 24 例 4-5 求 Gram 矩阵 MATLAB 命令 Gram 矩阵 19/10/24 25 可控性阶梯分解 对于不完全可控的系统阶梯分解 阶梯标准型 MATLAB 函数调用 若原系统状态方程完全可控,则不必分解 19/10/24 26 例 4-6 不完全可控系统 19/10/24 27 4.1.5 线性系统的可观测性分析 可观测性定义 系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以 由系统输出信号重建起来的性质 19/10/24 28 可观测性判定 判定矩阵 等同于 Gram 矩阵 系统可控性判定 MATLAB 求解 19/10/24 29 Gram 矩阵满足 Lyapunov 方程 对偶问题 19/10/24 30 4.1.6 Kalman 规范分解 Kalman 规范分解 19/10/24 31 子空间 示意图 19/10/24 32 4.1.6 系统状态方程标准型的 MAT LAB 求解 常用标准型 单变量系统的标准型 MATLAB 默认的标准型 可控标准型实现 可观测标准型实现 和 Jordan 标准型实现 多变量系统 Leunberge 标准型 侧重点:如何用 MATLAB 直接获取标准型 19/10/24 33 单变量系统的标准型 可控标准型 可观测标准型 19/10/24 34 可控可观测标准型转换 19/10/24 35 可控标准型和可观测标准型,对偶关系 19/10/24 36 Jordan 标准型 MATLAB 变换 19/10/24 37 多变量系统的 Leunberge 标准 型 由可控性判定矩阵 构造矩阵 19/10/24 38 得出 Leunberge 变换矩阵 编写 leunberge.m 函数 19/10/24 39 MATLAB 函数清单 19/10/24 40 19/10/24 41 标准型的变换方法总结 可控标准型 可观测标准型 Jordan 标准型 Leunberge 标准型 19/10/24 42 例 4-7 求解可观测标准型 标准型 19/10/24 43 例 4-8 已知模型 19/10/24 44 4.2 线性系统时域响应解析解法 给线性系统一个激励信号,输出是什么? 有两大类方法 解析解方法 求解微分方程、差分方程解析解 数值解方法 主要内容 基于状态方程的解析解方法 基于传递函数部分方式展开的解析解方法 二阶系统的解析解方法 19/10/24 45 4.2.1 基于状态方程的解析解方 法 状态方程模型 解析解 求解难点 19/10/24 46 状态增广方法 消除 B 矩阵,变成自治系统 增广状态方程 自治系统 19/10/24 可以直接求解析解 47 一般输入信号的系统增广 一般输入信号模型 引入增广状态变量 19/10/24 48 增广状态方程模型 其中 解析解 19/10/24 49 MATLAB 实现函数 19/10/24 50 调用格式 信号描述 19/10/24 51 例 4-10 连续系统模型 初值 输入信号 求解析解 19/10/24 52 系统增广 增广模型 19/10/24 53 解析解求解 解析解求解结果 稳定性 19/10/24 54 4.2.2 基于部分分式展开方法求 解 连续系统的解析解法 无重根时部分方式展开 19/10/24 55 由 Laplace 反变换求解析解 有重根时 相应项的解析解为 19/10/24 56 部分分式的 MATLAB 求解 例 4-10 输入信号为阶跃信号 输出信号计算 19/10/24 57 MATLAB 求解 解析解 解析解精确值( rat() ) 19/10/24 58 例 4-11 带有复数极点的系统 阶跃响应解析解 解析解 19/10/24 59 解析解的进一步化简 基于 Euler 公式的化简 其中 新 MATLAB 函数 19/10/24 60 新 MATLAB 函数清单 19/10/24 61 例 4-12 仍考 MATLAB 求解 解析解 19/10/24 62 基于 Laplace 变换的求解 参附录 A 步骤: 定义符号变量 描述原函数表达式 调用 laplace( ) 函数或 ilaplace( ) 函数求解 结果化简,如 simple( ) 函数 求解举例 19/10/24 63 例1 MATLAB 求解 解析解 19/10/24 64 例2 MATLAB 求解 解析解 19/10/24 65 离散系统的解析解法 Z 变换 无重根时 部分分式展开 解析解 19/10/24 66 考虑采样周期 例 4-13 19/10/24 67 输出信号 解析解 Z 变换求解步骤 定义符号变量 调用 iztrans( ) 函数求解 化简 19/10/24 68 利用符号运算工具箱求解 求解结果 方法更规范,结果更简单 19/10/24 69 有重根问题的解析解 部分分式表达式的 Z 反变换 例 4-15 部分分式展开 19/10/24 70 部分分式展开 解析解 19/10/24 71 符号运算求解 解析解 更直观,不建议用前者求解,而直接采用 Z 变换的符号运算方法求解 19/10/24 72 时间延迟系统的解析解法 例 4-16 19/10/24 73 无延迟解析解 有延迟解析解 19/10/24 74 4.2.3 二阶系统的阶跃响应及 阶跃响应指标 二阶系统模型 闭环模型 记 19/10/24 则 75 阶跃响应的解析解 无阻尼振荡 欠阻尼振荡 临界阻尼振荡 过阻尼振荡 19/10/24 76 二阶系统阶跃响应曲线 19/10/24 77 利用图形绘制功能,从新角度研究 同样的问题 三维曲面绘制 19/10/24 78 阶跃响应指标 超调量 稳态值 上升时间 调节时间 好的伺服控制系统,应该具有稳态误差小或没有稳态 误差、超调量小或没有超调量、上升时间短、调节时 间短等性能 19/10/24 79 4.3 线性系统的数字仿真分析 线性系统的解析解可以求解的条件 4 阶以上的系统需要求解 4 阶以上的多项 式方程,根据 Abel 定理,无解析解。 解析解和数值解结合 实际应用需要数值解,需要阶跃响应曲线 主要内容 线性系统的阶跃响应与脉冲响应 任意输入下系统的响应 19/10/24 80 4.3.1 线性系统的阶跃响应与脉冲响应 阶跃响应曲线绘制函数 多系统曲线绘制 19/10/24 81 例 4-16 延迟系统 MATLAB 语句 利用 MATLAB 提供的功能,可以从曲线上 得到更多的信息,如超调量等 19/10/24 82 MATLAB 求解解析解 解析解 数值解精度比较 19/10/24 83 例 4-17 离散化 采样周期 求解 19/10/24 84 ZOH 变换 Tustin 变换,不同采样周期 19/10/24 85 系统的脉冲响应曲线 MATLAB 下的 impulse( ) 函数与 step( ) 函数调用结构完全一致 MATLAB 求解 可以容易地研究系统的脉冲响应曲线 19/10/24 86 4.3.2 任意输入下系统的响应 可以利用 step( ) 和 impulse( ) 函数求解 输出信号计算 如 R(s) 已知,则可以直接求解 例 4 斜坡响应 19/10/24 87 MATLAB 求解 其他输入的响应可以由 lsim( ) 函数求取 19/10/24 88 4.4 根轨迹分析 单位负反馈 闭环系统特征方程 对 K 的不同取值,则可能绘制出每个特 征 根变化的曲线,这样的曲线称为系统的 根轨迹。 根轨迹用开环信息研究闭环特性 19/10/24 89 MATLAB 求解 该函数可以用于单变量不含有时间延迟的 连续、离散系统的根轨迹绘制,也可以用 于带有时间延迟的单变量离散系统的根轨 迹绘制。 19/10/24 90 例 4-24 开环系统 MATLAB 求解 如何求解临界增益? 闭环系统稳定性如何变化 19/10/24 91 例 4-25 根轨迹求解 求出阻尼在 处的增益 临界增益阶跃响应 19/10/24 92 例 4-26 离散系统根轨迹 根轨迹绘制 19/10/24 93 例 4-27 离散系统模型 MATLAB 求解 临界增益求取 19/10/24 94 延迟系统用 Pade 近似处理 例 4-29 正反馈系统 MATLAB 求解 19/10/24 95 4.5 线性系统频域分析 频域分析 Nyquist 1932 Bode , Nichols 提出的新图形方法 主要内容 单变量系统的频域分析 利用频率特性分析系统的稳定性 系统的幅值裕度和相位裕度 多变量系统的频域分析 19/10/24 96 4.5.1 单变量系统的频域分析 三种表示方法 实部与虚部关系曲线即为 Nyquist 图 Nyquist 图的缺陷:无对应频率信息 横轴对数坐标 rad/s ,纵轴分贝、度, Bode 图 幅值与相位关系, Nichols 图,无频率信息 19/10/24 97 Nyquist 曲线绘制 grid 命令绘制等 M 和等 N 圆 19/10/24 98 Bode 图绘制 Nichols 图由 nichols( ) 函数绘制 可以同样处理连续、离散、延迟、多变量 系统,格式不变 19/10/24 99 例 4-30 开环传递函数 Nyquist 曲线绘制 MATLAB 曲线特色 19/10/24 读取频率信息;频率范围 100 其他频域响应曲线 Bode 图绘制 快捷菜单读取特性 Nichols 图的绘制 用鼠标读取频率信息 弥补了传统 Nichols 图的不同 19/10/24 101 例 4-31 对下面模型离散化, MATLAB 求解 不同采样周期的离散模型 Bode 图 19/10/24 102 例 4-32 离散系统 Nyquist 图与 Nichols 图 19/10/24 103 例 4-33 延迟系统模型 MATLAB 求解 19/10/24 104 4.5.2 利用频率特性分析系统 的稳定性 Nyquist 定理可以进一步解释为 19/10/24 105 可以用开环的系统模型,绘制 Nyquist 图并以此分析闭环系统的稳定性。 19/10/24 106 例 4-34 Nyquist 图 闭环阶跃响应 19/10/24 107 4.5.3 系统的幅值裕度和相位裕度 幅值裕度和相位裕度 • 幅值裕度 • 相位裕度 19/10/24 108 稳定性裕度分析 如果系统的 Nyquist 图不与负实轴相交, 则系统的幅值裕度为无穷大。 如果系统的 Nyquist 图不与单位圆相交, 则系统的相位裕度为无穷大。 19/10/24 109 如果系统的 Nyquist 图在第三象限与单位 圆有若干个交点,则系统的相位裕度以与 离负实轴最近的为准。 MATLAB 求解方法 如果某个裕度为无穷大,则返回 Inf ,相应 的频率值为 NaN 。 19/10/24 110 例 4-35 MATLAB 求解 由于幅相裕度小,系统闭环响应有强振荡 19/10/24 111 本章主要内容 MATLAB 的使用为控制系统的分析提供了有力 的工具,在控制系统发展初期,由于没有这样的 强有力工具,出现了很多间接的方法,例如控制 系统的稳定性分析以往的 Routh 判据可以完全 由直接求根的方法取代,对控制系统来说,用 e ig( ) 就可以直接求出系统的特征根,并给出了反 馈控制系统的内部稳定性概念与判定方法。 19/10/24 112 利用 MATLAB 这样 的工具还可以直接对控制 系统的可控性、可观测性等进行直接判定,还 介绍了系统的可控性、可观测性阶梯分解、 Kal man 分解、 Leunberge 标准型转换等,并介绍 系统的范数测度及计算。 本章介绍了线性系统的解析解算法,包括基于状 态方程的解析解方法和基于部分分式展开技术的 解析解方法,分别就连续系统和离散系统等问题 进行了探讨,还介绍了改进的部分分式展开方法 ,从而可以得出更可读的解析解。 由典型二阶系统的阶跃响应定义了系统的一些响 应指标,如超调量、调节时间等,还介绍了这些 指标的求解方法。 19/10/24 113 连续和离散系统的阶跃响应曲线可以直接由 MATL AB 给出 step( ) 函数直接绘制出来,还可以用 函数就可以绘制出系统的脉冲响应曲线,还可以 用函数都可以用于系统在任意输入下的时域响应 ,这些函数均可以用于所有能用 MATLAB 下线性 时不变对象描述的线性系统时域分析。 根轨迹分析是单变量系统稳定性分析与控制系统 校正的一种有用方法,用 rlocus( ) 函数就可以直 接绘制出单变量连续与离散系统的根轨迹曲线, 并可以直接从根轨迹上读取临界稳定增益值。这 样的方法还可以直接应用于绘制带有时间延迟的 离散系统根轨迹绘制中。 19/10/24 114 从频域响应中复数的几种表示方法引入了 Nyquist 图、 Bode 图和 Nichols 图,并介 绍了在 MATLAB 控制系统工具箱中如何绘 制这些图形的方法,介绍了应用频域响应 进行闭环系统稳定性分析的方法,还介绍 了幅值裕度和相位裕度的求取函数 margin( ) ,这些方法可以直接求解连续和离散单变 量系统的频域响应分析。 19/10/24 115 ...
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  • Fall '19

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