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Introducción a la Transformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES
Transformada Wavelet Curso 2006 2 Introducción Para una mejor comprensión de los capítulos siguientes desarrollaremos aquí algunos conceptos matemáticos necesarios para nuestro trabajo. Se definirán los conceptos de Espacio de Hilbert, Ortogonalidad y Bases Ortogonales, además de realizar una breve descripción del Análisis de Fourier, sus usos y aplicaciones así como también sus limitaciones. 1.1 Generalidades Por razones de claridad comenzaremos definiendo el espacio métrico sobre el que vamos a trabajar: el espacio L 2 [ -∞ ,+ ] de Hilbert. 1.1.1 Espacios de Hilbert El espacio H de Hilbert es un espacio vectorial cuyos elementos pertenecen al plano complejo C [4] . Sea H el conjunto de elementos del espacio H . Los vectores complejos de este conjunto pueden ser sumados con las reglas usuales de la aritmética de vectores (propiedad aditiva) y multiplicados por escalares (números complejos). El espacio H está dotado de una métrica y de un producto interno. Consideraremos en particular el espacio H formado por funciones vectoriales f n . Si f y g son funciones del conjunto H de H , el producto interno para este conjunto de funciones es un escalar definido por (1.1) donde ( 29 x f * es el complejo conjugado de f ( x ) [5] . El producto escalar o interno de la función f con sí misma es un número real no negativo. En particular, si la función f C , entonces satisface la condición: (1.2) este espacio métrico recibe el nombre de Espacio de Hilbert L 2 [ -∞ ,+ ]. 1.1.2 Ortogonalidad. Bases Ortonormales Se dice que dos vectores x e y son ortogonales en un Espacio Hilbert H si su producto interno es cero: < x,y > = 0 , ) ( ) ( * , +∞ - = < dx x g x f g f , ) ( 2 < +∞ - dt t f
Transformada Wavelet Curso 2006 3 Se le llama conjunto ortogonal a aquel conjunto de vectores en el cual cualquier par de sus elementos es ortogonal . Además, este conjunto es ortonormal si la norma de los vectores es igual a uno: También se define a la base ortonormal de H como un conjunto ortonormal maximal en H si cualquier vector en H puede ser representado como el límite de las combinaciones lineales de los elementos de una base ortonormal [5] . 1.2 Análisis de Fourier En 1807, Jean B. Fourier demostró que una función podía ser desarrollada en términos de series trigonométricas, y que se podían obtener, por integración, fórmulas para los coeficientes del desarrollo. Para comprender mejor esto daremos algunas definiciones previas. 1.2.1 Funciones periódicas Dado que los términos de las series trigonométricas son periódicos es lógico deducir que las funciones que se van a desarrollar mediante dichas series deben ser también periódicas. Se dice que una función f ( x ) tiene un período P o es periódica con un período P si para todo x, f ( x+P ) = f ( x ), donde P es una constante positiva. El menor valor de P > 0 se llama el período mínimo o período de f ( x ) [6] .

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