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CHAPTER 13 VECTOR-VALUED FUNCTIONS AND MOTION IN SPACE 13.1 VECTOR FUNCTIONS 1. x t 1 and y t 1 y (x 1) 1 x 2x; 2t 2 2 and 2 œ± œ²Êœ² ²œ² œœ± Êœœ Êœ± œ ## # vi j a j v i j a j dd dt dt rv at t 1 œ 2. x t 1 and y 2t 1 x x (y 1) 1; 2t 2 œ²Êœ ± "Êœ ± ± œœ ± Êœœ # # ± # # " ˆ‰ y1 4d t d t j a i 2 at t Êœ± œ œ vi j a i " # 3. x e and y e y x ; e e e e 3 4 and 3 8 at t ln 3 œ œ Êœ œœ± œ t2 t t 2 t t 2 t 22 d 4 8 99 d t 9 9 # j a i j v i j a i j r 4. x cos 2t and y 3 sin 2t x y 1; ( 2 sin 2t) (6 cos 2t) œœ Ê ± œ œ œ ² ± Ê œ " 9d t d t j a ( 4 cos 2t) ( 12 sin 2t) 6 and 4 at t 0 œ² ±² Ê œ œ ij v j a i 5. (cos t) (sin t) and (sin t) (cos t) j a i j ² ² ² dt dt for t , and œ ² 11 44 j ÈÈ ; for t , and ai j v j 1 4 ² œ # # 1 # 6. 2 sin 2 cos and j a œœ² ± œ dtt d dt dt ˆ cos sin for t , ( ) 2 and Ê œ tt v i () ; f o r t , 2 a n d aj v i j 1 œ ² 33 j 3 1 ### 7. (1 cos t) j a ± œ dt dt (sin t) (cos t) for t , ( ) 2 and ( ) ; Ê œ œ œ ² v i a j 1 for t , and ² œ ² 3 1 # j a i 8. 2t and for t 1, j a j œœ Ê œ ² dt dt ( 1) 2 and ( 1) 2 ; for t 0, (0) and j a j v i ²œ² ²œ œ œ (0) 2 ; for t 1, (1) 2 and (1) 2 v i j œ ± œ
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826 Chapter 13 Vector-Valued Functions and Motion in Space 9. (t 1) t 1 2t 2t 2 2 ; Speed: (1) 1 (2(1)) 2 3; ri j k v i j k a j v œ± ± ² ± Êœ œ± ± Êœ œ œ ± ± œ ab k k È # ## # dd dt dt rr # # Direction: (1) 3 vi j k v (1) 2(1) 2 (1) 3 3 3 3 3 3 3 22 kk œ œ±± Ê œ ±± "" ijkv ijk ˆ‰ 10. (1 t) t 2t ; Speed: (1) j k v i j k a j k v œ±± ± Êœœ± ± Êœ œ ± tt d 2 t d2 2 3d t d t # $ # # ÈÈ È # 1 (1 ) 2; Direction: (1) œ± ±œ œ œ Ê Ê Š‹ # # # """ 2(1) (1) 2 2 (1) (1 ) È È v v 2(1) 2 È # ij k v 2 ± k È 2 11. (2 cos t) (3 sin t) 4t ( 2 sin t) (3 cos t) 4 ( 2 cos t) (3 sin t) ; j k v k a i j Ê œ œ ² Ê œ œ ² ² dt dt # # Speed: 2 sin 3 cos 4 2 5; Direction: ¸¸ˆ ˆ É È v 11 1 # œ² ± ± œ 2 v v ¸¸ 1 1 # # sin cos 2 5 ± ± œ² ± Ê œ ² ± Š Š È 23 4 2 2 55 5 5 5 5 5 # # È È È È È 1 k i k v i k 12. (sec t) (tan t) t (sec t tan t) sec t rij k v i j k a Ê œ œ ± ± Ê œ 4d 4 d t 3 d t # # # sec t tan t sec t 2 sec t tan t ; Speed: sec tan sec 2; ± œ ± ± œ a b ˆ ˆ É #$ # # # v 1 1 66 6 6 3 4 Direction: 2 j k v ˆ 1 1 1 6 6 3 6 4 œ Ê œ sec tan sec # # 333 6 ˆ 1 13. (2 ln (t 1)) t 2t 2 ; j k v i j k a i j k ± ± Ê œ œ ± ± Ê œ œ ± ± # ² td 2 d 2 2d t t 1 d t ( t 1 ) # # ’“ Speed: (1) (2(1)) 1 6; Direction: É È v ± œ œ 2 ( 1 ) (1) 2(1) (1) 6 ± # v v k È 2 1 " (1) 6 Ê œ " ÈÈÈ 666 21 2 v È 14. e (2 cos 3t) (2 sin 3t) e (6 sin 3t) (6 cos 3t) j k v i j k a ± Ê œ œ ² ² ± Ê œ a b ²² dt dt # # e (18 cos 3t) (18 sin 3t) ; Speed: (0) e [ 6 sin 3(0)] [6 cos 3(0)] 37; ² œ ² ± ² ± œ k k É È ² !# # # t v Direction: (0) 37 v v ij k (0) (0) e 6 sin 3(0) 6 cos 3(0) 37 37 37 37 37 È È È œ œ ²± Êœ ± ! ik v È 15. 3 3 2t and (0) 3 3 and (0) (0) 3 3 0 12 and j kak v i ja k v œ± ± œ Ê œ± œ Ê œ ± È Ê È # (0) 2 2; (0) (0) 0 cos 0 È av a œ œ œÊ œÊœ # # )) 1 16. 32t and 32 (0) and (0) (0) j a j v a j v œ±² œ ² Ê œ ² Ê œ ± È È È È 2 2 2 2 # # # # Š Š‹ Š‹ Ê 1 and (0) ( 32) 32; (0) (0) ( 32) 16 2 cos œ œ ² œ œ ² Ê œ Ê œ È È a # ² È 6 2 2 1(32) 4 3 1 17. t t 1 and (0) and vij k a i
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This homework help was uploaded on 09/23/2007 for the course MATH 1910 taught by Professor Berman during the Spring '07 term at Cornell University (Engineering School).

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