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Unformatted text preview: Living Rev Relativ (2017) 20:6 REVIEW ARTICLE Black holes, hidden symmetries, and complete integrability Valeri P. Frolov1 · Pavel Krtouš2 · David Kubiznák ˇ 3 Received: 26 May 2017 / Accepted: 12 October 2017 / Published online: 22 November 2017 © The Author(s) 2017. This article is an open access publication Abstract The study of higher-dimensional black holes is a subject which has recently attracted vast interest. Perhaps one of the most surprising discoveries is a realization that the properties of higher-dimensional black holes with the spherical horizon topology and described by the Kerr–NUT–(A)dS metrics are very similar to the properties of the well known four-dimensional Kerr metric. This remarkable result stems from the existence of a single object called the principal tensor. In our review we discuss explicit and hidden symmetries of higher-dimensional Kerr–NUT–(A)dS black hole spacetimes. We start with discussion of the Killing and Killing–Yano objects representing explicit and hidden symmetries. We demonstrate that the principal tensor can be used as a “seed object” which generates all these symmetries. It determines the form of the geometry, as well as guarantees its remarkable properties, such as special algebraic type of the spacetime, complete integrability of geodesic motion, and separability of the Hamilton–Jacobi, Klein–Gordon, and Dirac equations. The review also contains a discussion of different applications of the developed formalism and its possible generalizations. B Valeri P. Frolov [email protected] Pavel Krtouš [email protected] David Kubizˇnák [email protected] 1 Department of Physics, Theoretical Physics Institute, University of Alberta, Edmonton, AB T6G 2G7, Canada 2 Institute of Theoretical Physics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University, V Holešoviˇckách 2, Prague, Czech Republic 3 Perimeter Institute, 31 Caroline St. N, Waterloo, ON N2L 2Y5, Canada 123 6 Page 2 of 221 V. P. Frolov et al. Keywords General relativity · Higher dimensions · Black holes · Kerr–NUT–(A)dS · Hidden symmetries · Principal tensor · Complete integrability · Separability Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Black holes in four and higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Remarkable properties of the Kerr black hole . . . . . . . . . . . . 1.3 Higher-dimensional black objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Higher-dimensional Kerr–NUT–(A)dS black holes . . . . . . . . . . 1.5 Explicit and hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Complete integrability of geodesic motion . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Principal tensor and its Killing tower . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 ‘Hitchhikers guide’ to the review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Hidden symmetries and Killing objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Particle in a curved spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Phase space description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Nijenhuis–Schouten bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Time evolution and conserved quantities . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Relativistic particle and propagation of light . . . . . . . . . . 2.2 Explicit and hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Killing vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Killing tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Conformal Killing vectors and Killing tensors . . . . . . . . . 2.3 Separability structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Defining the Killing–Yano family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Motivation: parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Decomposition of the covariant derivative . . . . . . . . . . . 2.4.3 Alternative definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Killing–Yano objects in a differential form notation . . . . . . 2.5 Basic properties of conformal Killing–Yano forms . . . . . . . . . . 2.5.1 Conformal Killing–Yano forms . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Killing–Yano forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Closed conformal Killing–Yano forms . . . . . . . . . . . . . 2.6 Integrability conditions and method of prolongation . . . . . . . . . 2.6.1 Prolongation of the Killing vector equation . . . . . . . . . . 2.6.2 Maximum number of (closed conformal) Killing–Yano forms 2.7 Killing–Yano tensors in maximally symmetric spaces . . . . . . . . 2.8 Principal tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Darboux and null frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Metric signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Special Darboux frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5 Killing tower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.6 Geometry admitting the principal tensor . . . . . . . . . . . . 3 Kerr metric and its hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Kerr metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Carter’s canonical metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Off-shell canonical metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Going on-shell: Kerr–NUT–(A)dS metric . . . . . . . . . . . 3.2.3 Hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Darboux basis and canonical coordinates . . . . . . . . . . . 3.2.5 Principal tensor: immediate consequences . . . . . . . . . . . 3.3 Uniqueness of the Kerr metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Integrals of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 8 9 10 11 12 13 15 15 15 16 16 17 18 18 20 21 22 24 24 25 27 27 28 28 30 31 32 33 33 34 36 36 37 39 39 41 42 43 43 44 44 45 47 48 50 50 52 52 Black holes, hidden symmetries, and complete integrability 3.4.2 First-order form of geodesic equations . . . . . . . 3.4.3 Action-angle variables . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Separation of variables in the canonical metric . . . . . . 3.5.1 Hamilton–Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Separability of the Klein–Gordon equation . . . . 3.5.3 Separability of the Dirac equation . . . . . . . . . 3.6 Special limits of the Kerr metric . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Flat spacetime limit: M = 0 . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Extremal black hole: M = a . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Non-rotating black hole: a = 0 . . . . . . . . . . . 3.7 Kerr–Schild form of the Kerr metric . . . . . . . . . . . 3.8 Remarks on the choice of angle variable . . . . . . . . . 3.8.1 Axis of rotational symmetry . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Twisting construction . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 Rotating string and conical singularity . . . . . . . 3.8.4 Kerr geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5 Effect of NUT charges . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Hidden symmetries of the Pleba´nski–Demia´nski metric . 3.9.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3 Higher-dimensional generalizations . . . . . . . . 4 Higher-dimensional Kerr–NUT–(A)dS metrics . . . . . . . . 4.1 Canonical form of the metric . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Special Darboux frame . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 On-shell metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Parameters and alternative form of the metric . . . . . . 4.2.1 Parametrization of metric functions . . . . . . . . 4.2.2 Two types of angular variables . . . . . . . . . . . 4.2.3 Parameters of the solution . . . . . . . . . . . . . 4.3 Euclidean signature: instantons . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Euclidean instantons . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Lorentzian signature: black holes . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 General multiply-spinning black holes with NUTs 4.4.2 Vacuum rotating black holes with NUTs . . . . . . 4.4.3 Kerr–(A)dS, Myers–Perry, and Tangherlini metrics 4.5 Multi-Kerr–Schild form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Hidden symmetries of Kerr–NUT–(A)dS spacetimes . . . . . 5.1 Principal tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Killing tower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Direct method of construction . . . . . . . . . . . 5.2.2 Method of generating functions . . . . . . . . . . 5.2.3 Killing tower in a Darboux frame . . . . . . . . . 5.3 Uniqueness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Proof of commutation relations . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Commutation relations . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Structure of the curvature . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Principal tensor as a symplectic structure . . . . . . . . . 5.5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Symplectic structure on the spacetime . . . . . . . 6 Particles and fields: Integrability and separability . . . . . . . 6.1 Complete integrability of geodesic motion . . . . . . . . 6.1.1 Complete set of integrals of motion . . . . . . . . 6.1.2 Particle trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . Page 3 of 221 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. 6.4.4 Tensorial R-separability of common eigenfunctions . . . . . . . . . 6.5 Tensor perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Maxwell equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Wald’s trick: electromagnetic fields from isometries . . . . . . . . . 6.6.2 Aligned electromagnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Motion of charged particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Weakly charged operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 On a backreaction of the aligned fields . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Parallel-transported frame along timelike geodesics . . . . . . . . . 7.1.2 Parallel transport along null geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Classical spinning particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Theory of classical spinning particles . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Bosonic integrals of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Stationary strings and branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Dirac–Nambu–Goto action for extended objects . . . . . . . . . . . 7.3.2 Killing reduction of action for a stationary string . . . . . . . . . . 7.3.3 Solving stationary string equations in Kerr–NUT–(A)dS spacetimes 7.3.4 ξ -branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Generalized Kerr–NUT–(A)dS spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 General form of the metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Concrete examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Special Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Partially rotating deformed black holes . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 NUTty spacetimes and near horizon geometries . . . . . . . . . . . 7.5 Lifting theorems: hidden symmetries on a warped space . . . . . . . . . . 7.6 Generalized Killing–Yano tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Systematic derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Killing–Yano tensors in a spacetime with torsion . . . . . . . . . . 7.7 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Tensor notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Exterior calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Phase space formalism and complete integrability . . . . . . . . . . . . . . . . B.1 Symplectic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Symplectic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Hamiltonian vector flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.3. Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.4 Canonical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.5 Time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.6 Integrals of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Complete integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Liouville’s integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.2 Level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.3 Liouville’s procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 V. P. Frolov et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 119 122 124 126 126 127 129 130 132 133 133 135 137 137 138 139 139 139 141 144 144 146 147 148 148 148 149 150 152 152 154 154 156 157 157 159 159 160 161 163 164 165 165 165 168 168 168 168 169 169 170 171 172 172 173 173 Black holes, hidden symmetries, and complete integrability Page 5 of 221 6 B.2.4 Action-angle variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Hamilton–Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.1 Time-dependent case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.2 Autonomous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.3 Connections to Liouville’s integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.4 Additive separability of the Hamilton–Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . B.4 Covariant formalism on a cotangent bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Integrability conditions for conformal Killing–Yano forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1 Laplace operator and conformal Killing–Yano forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Laplace operators and Weitzenböck identity . ....
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