Chopra Helicopter dynamics.pdf - HELICOPTER DYNAMICS Inderjit Chopra Anubhav Datta ENAE 633 Helicopter Dynamics Spring 2011 2 Contents 1 Introduction to

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Unformatted text preview: HELICOPTER DYNAMICS Inderjit Chopra Anubhav Datta ENAE 633 Helicopter Dynamics Spring 2011 2 Contents 1 Introduction to Rotor Dynamics 1.1 Basic Rotor Aerodynamics . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Axial Climb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Axial Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Forward Flight . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Basic Structural Dynamics . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Second-Order Systems . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Reduction to First-Order Form . . . . . . . 1.2.3 Rotor Blade Dynamics . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Flap motion of a rotor blade . . . . . . . . 1.3 Aero-elastic Response . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Flap response for non-rotating blades . . . 1.3.2 Flap response for rotating blades in vacuum 1.3.3 Flap response in hover . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Flap response in forward flight . . . . . . . 1.4 Introduction to Loads . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Root shear load . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Root bending load . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Rotating frame hub loads . . . . . . . . . . 1.4.4 Fixed frame hub loads . . . . . . . . . . . . 1.5 Rotor planes of reference . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Helicopter Trim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Rotor Forces and Moments . . . . . . . . . 1.6.2 Uncoupled trim . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Coupled trim for an isolated rotor . . . . . 1.6.4 Coupled trim for a full aircraft . . . . . . . 1.6.5 Rotor Power and Lift to Drag Ratio . . . . 1.6.6 The Jacobian Method for Trim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 23 25 26 32 32 39 41 42 45 46 46 47 48 52 53 53 53 54 57 61 62 64 65 66 71 76 2 Flap Dynamics 2.1 Rigid Blade Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Hinged Blade with zero offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Hinged Blade with Offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Hingeless Blade with Equivalent Hinge Offset . . . . . . . . . . . 2.2 Flexible Beam Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Axial Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Euler-Bernoulli Theory of Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Flap Bending Equation using Newtons’s Laws . . . . . . . . . . . 2.2.4 Second Order Nonlinear Coupled Axial Elongation-Flap Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 79 82 85 86 86 86 87 90 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONTENTS 4 2.2.5 Axial Elongation as a Quasi-coordinate . 2.2.6 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 2.3 Non-rotating beam vibration . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cantilevered Beam . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Simple-Supported Beam . . . . . . . . . . 2.3.3 Beam Functions . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rotating Beam Vibration . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Approximate solution Methods . . . . . . 2.4.2 Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Rayleigh-Ritz Method . . . . . . . . . . . 2.5 Finite Element Method (FEM) . . . . . . . . . . 2.5.1 Element properties . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Assembly of elements . . . . . . . . . . . 2.5.3 Constraint conditions . . . . . . . . . . . 2.6 Fan plot and frequency plots for rotating beams . 2.6.1 Rotating versus non-rotating frequencies . 2.6.2 Rotating frequencies vs. rotational speed 2.6.3 Rotating versus non-rotating mode shapes 2.7 Response Solution in time . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Fourier series methods . . . . . . . . . . . 2.7.2 Finite Element in Time (FET) method . 2.7.3 Time Integration Methods . . . . . . . . . 2.8 Bending Moments and Stresses . . . . . . . . . . 2.8.1 Deflection and Force Summation methods 2.8.2 Force summation vs. modal method . . . 2.9 Fourier Coordinate Transformation . . . . . . . . 2.9.1 FCT of governing equations . . . . . . . . 2.10 Aeroelastic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Stability roots in hover . . . . . . . . . . 2.11 Stability Analysis in Forward flight . . . . . . . . 2.11.1 Constant Coefficient System . . . . . . . . 2.11.2 Periodic coefficient systems . . . . . . . . 2.11.3 Floquet stability solution . . . . . . . . . 2.11.4 Floquet response solution . . . . . . . . . 3 Coupled Flap-Lag-Torsion Dynamics 3.1 Lag Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rigid Lag Model with Hinge Offset . . 3.1.2 Elastic Lag Model . . . . . . . . . . . 3.1.3 Natural Vibrations of Lag Motion . . 3.1.4 Finite Element Formulation . . . . . . 3.2 Torsion Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rigid Torsion Model . . . . . . . . . . 3.2.2 Elastic Torsion . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Natural Vibrations of Torsion Motion 3.2.4 Beam Functions for Torsion . . . . . . 3.3 Coupled Flap-Lag Dynamics . . . . . . . . . . 3.3.1 Rigid Model . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Flexible Model . . . . . . . . . . . . . 3.4 Coupled Pitch-Flap Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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4.2.2 Coupled Airloads and Wake . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Non-steady Excitation in Rotor Blades . . . . . . 4.2.4 Trailed and Shed Wake Structure of a Rotor . . 4.2.5 Unsteady Aerodynamics . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Dynamic Stall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Unsteady Thin Airfoil Theory . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Steady Airloads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Quasi-Steady Airloads . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Unsteady Airloads . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 A Simple Interpretation . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 The Theodorsen Lift Deficiency Function . . . . 4.3.6 Application to Rotary Wings . . . . . . . . . . . 4.3.7 Near Shed Wake . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Time-Varying Free Stream . . . . . . . . . . . . . 4.3.9 Returning Wake . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.10 Miller’s Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Time Domain Methods for Unsteady Aerodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 221 222 226 226 229 230 231 231 232 232 233 234 234 235 235 237 239 240 242 246 247 248 251 252 252 254 254 3.5 3.6 3.7 3.8 3.4.1 Rigid Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Kinematic Pitch-Flap Coupling: δ3 Effect . . 3.4.3 δ3 Effect in Hover . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Kinematic Pitch-Lag Coupling: δ4 Effect . . . Rigid Flap-Lag-Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . Flexible Flap-Lag-Torsion-extension . . . . . . . . . 3.6.1 Second order non-linear beam model . . . . . 3.6.2 Equations for uniform beams . . . . . . . . . 3.6.3 Detailed model for non-uniform beams . . . . 3.6.4 Blade Coordinate Systems . . . . . . . . . . . 3.6.5 Blade Deformation Geometry . . . . . . . . . 3.6.6 Nondimensionalization and Ordering scheme 3.6.7 Formulation Using Hamilton’s Principle . . . 3.6.8 Derivation of Strain Energy . . . . . . . . . . 3.6.9 Derivation of Kinetic Energy . . . . . . . . . 3.6.10 Virtual Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.11 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . Structural loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Modal Curvature Method . . . . . . . . . . . 3.7.2 Force Summation Method . . . . . . . . . . . Hub Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONTENTS 6 4.5 4.6 4.7 4.4.1 Leishman-Beddoes indicial model . . . . . . . 4.4.2 Frequency response of indicial model . . . . . 4.4.3 Recursive formulation of an indicial model . . 4.4.4 Leishman-Beddoes dynamic stall formulation Wing Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Prandtl Lifting Line Theory . . . . . . . . . . 4.5.2 Weissinger-L Lifting-surface Theory . . . . . 4.5.3 Unsteady Lifting-Line Analysis . . . . . . . . Perturbation Aerodynamic Forces . . . . . . . . . . . Dynamic Inflow Models . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Hover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Forward Flight . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Aeroelastic Stability in Hover 5.1 Flag-Lag Flutter . . . . . . . 5.1.1 Comment on Flap-Lag 5.2 Pitch-Flap Instabilities . . . . 5.2.1 Pitch Divergence . . . 5.2.2 Flutter . . . . . . . . . 5.3 Flap-Lag-Torsion Flutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 258 263 265 269 269 270 272 274 280 280 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 . 287 . 295 . 300 . 302 . 304 . 307 6 Ground and Air Resonance 6.1 Ground Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Blade Lag Motion in Fixed Coordinates . . . . . . . . . . . 6.1.2 Three and Four bladed Rotors . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Ground Resonance Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ground Resonance of Two-Bladed Rotors . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Air Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Body Pitch and Roll with a Rigid Spinning Rotor . . . . . 6.3.2 Rotor Flap and Lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Rotor Flap and Body Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Rotor Flap and Body Pitch and Roll . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Rotor Flap and Lag and Body Pitch in Vacuum . . . . . . 6.3.6 Rotor Flap and Lag coupled to Body Pitch and Roll in Air 6.4 Experimental Data on Aeromechanical Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 . 363 . 365 . 366 . 367 . 367 . 369 . 371 . 373 . 373 . . . . . Flutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Aeroelastic Stability in Forward Flight 7.1 Flap Motion in forward flight . . . . . . . . . . 7.2 Hover Stability Roots . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Forward Flight Stability Roots . . . . . . . . . 7.3.1 Stability Roots in Rotating Coordinates 7.3.2 Stability Roots in Fixed Coordinates . . 7.4 Flap-lag Stability in Forward Flight . . . . . . 7.4.1 Perturbation Stability Solution . . . . . 7.4.2 Constant Coefficient Approximation . . 7.4.3 Floquet Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 319 319 320 322 330 333 335 335 339 339 340 344 347 CONTENTS 7 8 Trailing Edge Flaps and Tabs 8.1 Flap-Torsion-Aileron Dynamics of a Wing Section . . . . . . . . . . 8.1.1 Flap-Torsion dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Flap-torsion-Aileron dynamics: Force method . . . . . . . . . 8.1.3 Flap-torsion-Aileron dynamics: Energy method . . . . . . . . 8.2 Flap-Torsion-Aileron-Tab Dynamics of a Rotor Blade . . . . . . . . . 8.2.1 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Hinge Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Initial condition response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Response with prescribed tab deflections . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Flap-Torsion-Aileron Dynamics for a Rotor Blade . . . . . . . 8.2.6 Response using prescribed aileron deflections . . . . . . . . . 8.2.7 Flap-Torsion-Aileron-Tab equations in non-dimensional form 8.3 Aerodynamic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Theodorsen model for aileron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Theodorsen and Garrick model for aileron and tab . . . . . . 8.3.3 2D airfoil data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Flexible blade equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 377 377 378 379 380 380 391 391 391 392 393 393 395 395 396 402 405 9 CFD for Rotors 9.1 Isentropic Flow Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Unsteady Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Pressure coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Potential equation in the non-conservation form . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Blade fixed moving frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Velocity and acceleration in the moving frame . . . . . . . . . 9.2.3 Derivatives in the moving frame . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Full Potential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Small disturbance equations for subsonic and transonic flows 9.2.7 Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Potential equation in conservation form . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Full potential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Generalized coordinate transformation . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Euler and Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Review of Curvilinear coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Generalized coordinate transformation . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Euler equation in generalized coordinates . . . . . . . . . . . 9.4.4 Thomas and Lombard’s Geometric Conservation Law . . . . 9.4.5 Navier-Stokes equations in generalized coordinates . . . . . . 9.4.6 Surface Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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  • Winter '16
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