43-Granicne_vrednosti_nizova.pdf - GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA Marina Nikolić 095/2012 Ana Nenadić 167/2011 Dragana Grubić 171/2011 Damjana Stojičić

43-Granicne_vrednosti_nizova.pdf - GRANIČNE VREDNOSTI...

This preview shows page 1 - 3 out of 18 pages.

GRANI Č NE VREDNOSTI NIZOVA Marina Nikoli ć 095/2012 Ana Nenadi ć 167/2011 Dragana Grubi ć 171/2011 Damjana Stoji čić 211/2007 Ivana Bogi ć evi ć 224/2010 Aleksandra Nerandži ć 220/2011
Image of page 1

Subscribe to view the full document.

Kako je sve po č elo… · Oko 5. veka p.n.e. gr č ki filozof Zenon je formulisao svoje č uvene paradokse koji su uklju č ivali procese sa grani č nim vrednostima (limesima). · Gr č ki filozofi Leukip, Demokrit, Antifont, Eudoks i Arhimed su do 2. veka p.n.e. razvili metod iscrpljivanja (ekshaustije) za izra č unavanje površine figure ubacivanjem niza poligona č ije površine konvergiraju ka površini č itave figure. · Ozbiljnije razumevanje grani č nih vrednosti, limesa, po č elo je u 17. veku radovima Njutna. · U 18. veku Ojler je paradoksalno sumirao neke divergentne redove, da bi Lagranž 1797. god. shvatio i objasnio važnost rigoroznosti u razmatranjima u vezi sa limesima. · Gaus je 1813. strogim definicijama po prvi put u istoriji matematike odredio uslove konvergencije nizova u grani č nim uslovima. · Savremenu definiciju limesa (za svako  ε >0 postoji n 0 ...) dao je č eški matemati č ar Bernard Bolcano u tada jedva prime ć enom radu: Der binomische Lehrsatz , Prag 1816. koji je oko 1870. prhvatio nema č ki matemati č ar Karl Theodor Wilhelm Weierstraß. Limes i konvergencija niza · Beskona č ni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Ozna č avamo ga sa a 1 , a 2 , a 3 , …, a n ,… ili ( a n ). · Epsilon okolina ( ε -okolina) realnog broja a je otvoreni interval realnih brojeva ( a ε , a + ε ), pri č emu je ε realan pozitivan broj. · Broj a je ta č ka nagomilavanja niza realnih brojeva ( a n ) ako svaka ε -okolina broja a sadrži beskona č no mnogo č lanova niza ( a n ). Ako je ta č ka nagomilavanja niza jedinstvena i kona č na, nazivamo je limes. · Realan broj A je limes (grani č na vrednost) niza realnih brojeva ( a n ), ako za svaki realan broj ε >0 postoji prirodan broj n 0 takav da ( n > n 0 ) (| a n – A| < ε ). Tada pišemo: a n A, n →∞ , ili A = lim ௡→ ܽ i č itamo: niz ( a n ) teži A kada n teži beskona č nosti. · Niz ( a n ) ima limes ako postoji ta č ka A takva da se u svakoj njenoj okolini nalaze skoro svi č lanovi tog niza (izraz skoro svi č lanovi niza zna č i beskona č no mnogo č lanova niza sa najviše kona č no mnogo izuzetaka). · Niz je konvergentan ako ima (ta č no jednu) grani č nu vrednost. U suprotnom je divergentan. · Mogu ć a je i druga č ija definicija konvergencije niza. Skoro svi č lanovi niza zna č i isto što i svi č lanovi po č evši od nekog odre đ enog č lana. Dakle, ako odaberemo bilo koju okolinu polupre č nika ε >0, mogu ć e je na ć i tako veliki indeks n 0 , takav da iza tog indeksa (za svako n > n 0 ) svi č lanovi niza su unutar okoline (| a a n | < ε ). · Važi slede ć e: A= lim n →∞ ܽ ቁ ⟺ ( ∃A∈ R)( ∀ε >0)( n 0 N)(n>n 0 |A – ܽ | ) Terminologija · Niz sa jednakim č lanovima naziva se konstantan niz.
Image of page 2
Image of page 3
  • Fall '19
  • David J. Malan

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask You can ask ( soon) You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes