nizovi.pdf - Nizovi Neka je(X d metriˇcki prostor Definicija Funkcija a N → X a(n = an zove se niz u prostoru X i oznaˇcava se sa{an}n∈N Element

nizovi.pdf - Nizovi Neka je(X d metriˇcki prostor...

This preview shows page 1 - 4 out of 30 pages.

Nizovi Neka je ( X, d ) metriˇ cki prostor. Definicija. Funkcija a : N X , a ( n ) = a n zove se niz u prostoru X i oznaˇ cava se sa { a n } n N . Element a n X zove se ˇ clan niza . Niz { a n } n N u prostoru X R , u kome je definisana metrika d ( x, y ) = | x y | ( x, y R ) zove se realni niz . U daljem izlaganju govori´ ce se o realnim nizovima. Definicija. Niz { a n } n N je konvergentan ako postoji taˇ cka a X takva da ( ε > 0)( n 0 N )( n n 0 ) | a n a | < ε . Taˇ cka a je graniˇ cna vrednost ili granica niza { a n } n N , ˇ sto se oznaˇ cava sa lim n →∞ a n = a ili a n a ( n → ∞ ) . Ako niz nije konvergentan, on je divergentan . Definicija. Niz { a n } n N teˇ zi ka + , tj. lim n →∞ a n = + , ako ( A > 0)( n 0 N )( n n 0 ) a n > A . Niz { a n } n N teˇ zi ka −∞ , tj. lim n →∞ a n = −∞ , ako ( A > 0)( n 0 N )( n n 0 ) a n < A . Ako je lim n →∞ a n = + ili lim n →∞ a n = −∞ , niz je odred¯eno divergentan . Definicija. Niz { a n } n N je ograniˇ cen ako postoje taˇ cka a R i M > 0 tako da je | a n a | < M za svako n N . 1
Image of page 1

Subscribe to view the full document.

2 Definicija. Niz { a n } n N je: nerastu´ ci ako je a n +1 a n za svako n N ; neopadaju´ ci ako je a n +1 a n za svako n N ; opadaju´ ci ako je a n +1 < a n za svako n N ; rastu´ ci ako je a n +1 > a n za svako n N . Ako niz ima neku od navedenih osobina, on je monoton . Teorema 1. Ako je niz { a n } n N konvergentan, on je ograniˇ cen. Teorema 2. Ako su nizovi { a n } n N i { b n } n N konvergentni i α R proizvoljna konstanta, tada su konvergentni i nizovi { αa n } n N , { a n + b n } n N i { a n b n } n N i pri tome je lim n →∞ αa n = α lim n →∞ a n , lim n →∞ ( a n + b n ) = lim n →∞ a n + lim n →∞ b n , lim n →∞ ( a n b n ) = lim n →∞ a n lim n →∞ b n . Ako je joˇ s i b n ̸ = 0 za svako n N i lim n →∞ b n ̸ = 0, tada je i niz { a n /b n } n N konvergentan i vaˇ zi lim n →∞ a n b n = lim n →∞ a n lim n →∞ b n . Teorema 3. Ako su nizovi { a n } n N i { b n } n N konvergentni sa istom granicom a i ako je a n c n b n za svako n N , tada je i niz { c n } n N konvergentan i vaˇ zi lim n →∞ c n = a . Teorema 4. ( ˇ Stolcova teorema) Neka su dati nizovi { a n } n N i { b n } n N takvi da je { b n } n N rastu´ ci i lim n →∞ b n = + . Ako postoji lim n →∞ a n +1 a n b n +1 b n , tada postoji i lim n →∞ a n b n i vaˇ zi lim n →∞ a n b n = lim n →∞ a n +1 a n b n +1 b n .
Image of page 2
3 Teorema 5. Ako je niz { a n } n N monoton i ograniˇ cen, on je konvergentan. Definicija. Ako je { n k } k N strogo rastu´ ci niz prirodnih brojeva, tada je { a n k } k N delimiˇ cni niz ili podniz niza { a n } n N . Definicija. Ako je podniz { a n k } k N niza { a n } n N konvergentan i lim k →∞ a n k = α , tada je α delimiˇ cna granica ili taˇ cka nagomilavanja niza { a n } n N .
Image of page 3

Subscribe to view the full document.

Image of page 4
  • Fall '19
  • David J. Malan

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask You can ask ( soon) You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes