Hoja_esp_vect_06.doc - MATEMÁTICAS I Hoja de problemas Nº 7 Curso 05-06 ESPACIO VECTORIAL Problema a entregar(entregar en Word y se recomienda hacer

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MATEMÁTICAS I Hoja de problemas Nº 7 Curso 05-06 ESPACIO VECTORIAL Problema a entregar ( entregar en Word y se recomienda hacer los cálculos con Derive) 1. Probar que los sistemas de vectores G 1 y G 2 generan el mismo subespacio vectorial F de R 4 . G 1 = {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)} G 2 = {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)} 2. Hallar una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas cuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada) 3. Sea H = {( x , y , z , t ) R 4 tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0 }. Se pide: a) Hallar una base de H, de F + H y de F H respectivamente. b) Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F H. 4. ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio suplementario de F. 5. Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1), (2,1,0)} son bases de R 3 y calcular las ecuaciones matriciales de cambio c) de la base B a la base canónica B C d) de la base B’ a B C e) de la base B a B’ f) de la base B’ a B. 1) Se considera R 3 con la suma habitual y con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, ( R 3 , +,·) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla: a) z y x z y x , , , , b) 0 , 0 , 0 , , z y x c) z y x z y x 3 , 3 , 3 , , 2) Definimos en R 2 las operaciones siguientes: 1 , , 1 ' , ' ' , ' y x y x y y x x y x x,y a) Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de ( x, y ) b) Probar que R 2 con dichas operaciones es un espacio vectorial. 3) En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de 3 R . En caso afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F. a) R , / , , 1 F b) R , / , , 0 F c) 0 2 3 / R , , F 3 z y x z y x d) R , , / , , 2 F 2 4) En cada caso, determinar si x pertenece a  z y , F . Si F x , escribirlo como combinación lineal de y y z . a) 1 , 0 , 1 , 0 z , 1 , 0 , 0 , 1 y , 1 , 0 , 1 , 2 x b) 1 , 3 , 1 , 1 z , 2 , 0 , 1 , 2 y , 11 , 15 , 2 , 1 x Unidad docente de Matemáticas 1
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c) 0 , 1 , 4 z , 3 , 2 , 1 y , 9 , 7 , 7 x 5) Determinar, en cada caso, si los vectores dados constituyen un sistema generador y/o libre de R 4 . a)       1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 b)       0 , 5 , 4 , 1 , 1 , 1 , 2 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 5 , 3 , 1 c)     1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 5 , 2 , 0 , 1 6) Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de 2 , 1, 2 2 x x x x .
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