SEM_10_2_MPI1_RAZON_DE_CAMBIO.pdf - CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA RAZÓN DE CAMBIO Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha

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Unformatted text preview: CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA DERIVADA - RAZÓN DE CAMBIO Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo GALILEO GALILEI Razón de Cambio Dos variables relacionadas entre si, se expresan como una fracción.(también se le llama razón). El hecho de estar relacionadas hace que al variar o cambiar una variable necesariamente varía la otra. La variación puede llamarse Razón de Cambio Promedio o Razón de Cambio Instantáneo. Razón de Cambio Promedio La razón o tasa de cambio promedio de y respecto a t en un intervalo [t, t + 4t] se dene por: 4y 4t = f (t+4t)−f (t) 4t Razón de Cambio Instantaneo La razón de cambio instantaneo de y respecto a t en t0 se dene por: f 0 (t0 )= Lim = 4t−→0 Ejemplo 1. 4y 4t = Lim 4t−→0 f (t0 +4t)−f (x0 ) 4t Sea P una partícula que se mueve sobre una curva, tal que su posición en el instante t está dada por f (t) = t 2 − 6x + 10 a) Determine su velocidad promedio en el intervalo de tiempo t ∈ [2 , 6 ] Observemos que si t = 2 , se tiene f (t) = 2 . Si incrementamos t = 6 , se tiene f (t) = 10 . Luego podemos armar que: Velocidad promedio = 1 desplazamiento tiempo recorrido RAZÓN DE CAMBIO 4y 4t = 10−2 6−2 =2 b) Determine su velocidad instantanea en t = 4 ,5 Al tener un solo punto de referencia y generar otro muy cercano a este, tan cerca que la diferencia sea innitesimal (casi cero), estamos hallando la razón de cambio instantaneo. Velocidad instantanea = f 0 (t0 ) f 0 (t0 ) = 2 (t0 ) − 6 = 3 Razones de Cambio Relacionadas Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una función de la que queremos medir y obtener su razón de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha función se encuentre relacionada con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia en este caso consiste en encontrar una relación matemática en donde se relacionen las funciones que aparezcan en el contexto del problema. Posteriormente se deriva la expresión matemática mencionada y se obtiene una relación de funciones y razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen). Por último se despeja la razón de cambio deseada que estará en términos de las otras razones de cambio. Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas. En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¾qué es lo que se pide en el problema? así como, ¾qué es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a matematizar el problema. UTP Sede Arequipa Página 2 RAZÓN DE CAMBIO MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 10 Sesión 1 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Cuando el precio de venta de un libro es de $100, se venden al mes 60 libros. Al aumentar el precio a $110 se venden al mes 40 libros. ¾Cuál es la razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio? 2. El área de un circulo decrece a razón de 2 π cm 2 /seg . ¾Con qué razón decrece el radio del circulo cuando su área es de 25 π cm 2 3. La altura de un triángulo disminuye a razón de 2cm/min mientras que el área del mismo cm2 disminuye a razón de 3 min ¾A que ritmo cambia la base del triángulo cuando la altura es igual a 20cm y el área es de 150cm2 UTP Sede Arequipa Página 3 ´ RAZÓN DE CAMBIO 4. La longitud del largo de un rectángulo disminuye a razón de 2 cm/seg, mientras que el ancho aumenta a razón de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y el ancho de 5 cm, hallar la variación de las longitudes de las diagonales del rectángulo 5. Una escalera de 30 m de largo está apoyada contra una pared vertical. Si el extremo superior de la escalera resbala a razón de 2 m por segundo ¾Cuál es la tasa de variación del área del triángulo formado por la escalera el suelo y la pared en el instante en que el extremo superior está a 18 metros del suelo? 6. Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia la pared a una velocidad de 1,6 m/s ¾con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre la pared cuando se encuentra a 4 m de ésta? UTP Sede Arequipa Página 4 RAZÓN DE CAMBIO 7. Desde la parte superior del reloj de arena que se muestra en la gura, la arena cae a razón constante de 4cm3 /s. Exprese la razón a que crece la altura de la pila inferior en términos de la altura de la arena. 8. La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 /min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula: a) ¾A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? UTP Sede Arequipa Página 5 RAZÓN DE CAMBIO MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 10 Sesión 1 EJERCICIOS ADICIONALES 1. A las 10 horas hay 2000 bacterias en un frasco. A las 15 horas hay 12000 bacterias. ¾Cuál es la razón de cambio promedio de la población de bacterias con respecto al tiempo? 2. Una escalera de 5 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m/s, ¾a qué velocidad desciende el extremo superior cuando éste está a 3 m del suelo? 3. Un poste de 5 m de altura tiene un farol en la parte superior; un hombre de 1.70 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¾con qué velocidad crece su sombra? 4. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m, la supercie sube a razón de 1 cm por minuto. ¾A qué rapidez le está entrando agua al recipiente? UTP Sede Arequipa Página 6 RAZÓN DE CAMBIO 5. Un hombre se aleja de un edicio de 18m de altura a una velocidad de 1, 8m/s. Una persona en la azotea de un edicio observa al hombre alejarse. ¾A qué velocidad varia el ángulo de depresión de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando éste dista 24m de la base de la torre? 6. Un hombre de 1.7 metros de estatura se aleja a 6.34 km/h, de una fuente luminosa que se encuentra a 3 metros de altura ¾A qué velocidad se traslada la sombra que proyecta su cabeza? 7. Una lámpara se encuentra suspendida a 15 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina alejándose de la lámpara en línea recta con una velocidad de 5 pies/s, ¾con qué rapidez se alarga su sombra? UTP Sede Arequipa Página 7 RAZÓN DE CAMBIO MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 TAREA DOMICILIARIA 1. Las aristas de un cubo está cambiando a razón de 6.25 cm/min. Determine la razón de cambio del área supercial del cubo cuando esta es de 24 cm2 . 2. Una escalera de 13 pies está apoyada contra una casa cuando su base empieza a resbalarse. En el momento en que la base está a 12 pies de la casa, la base se está moviendo a razón de 5 pies por segundo. Hallar la razón a la que esta cambiado el área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento. 3. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con vértice hacia abajo. Su altura es de 8m y el radio de la tapa es 12m. El agua sale por el fondo de modo constante a razón de 3m3 /min . Se vierte agua en el depósito a razón de km3 /min . Calcular k de modo que el nivel del agua asciende a razón de 4m/min , en el instante en el que el agua alcance la altura de 5m. 4. A un tanque cónico invertido de 4 m de radio y 16 m de altura, le está ingresando agua a razón de 50cm3 /seg a) Determine la rapidez a la que sube la supercie del agua cuando esta se encuentra a 4 m de altura. b) Determine la rapidez con que está cambiando el radio en ese instante. 5. Un envase que tiene forma de cono circular recto está siendo sometido a estiramientos y encogimientos para probar la resistencia del material utilizado. Si el radio de la base está decreciendo a razón de 2 cm/min y el área lateral está creciendo a razón de 10πcm2 /min, ¾a qué razón está variando el volumen de dicho envase en el instante en que el radio de la base vale 30 cm y el área lateral vale 1500πcm2 ? RESPUESTAS 1. El área crece a razón de 150cm2 /min. 2. El área decrece a razón de 119 2 2 pies /seg 3. k = (225π + 3) m3 /min 1 4. a) La rapidez a la que sube la supercie del agua es de 200π cm/seg 1 b) La rapidez con la que radio cambia en ese instante es de 800π cm/seg 5. UTP dV dt = 225cm3 /min Sede Arequipa Página 8 ...
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  • Summer '19
  • JAIME ALFONSO FERNANDEZ CAYCHO

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

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