SEM_9_1_2_MP I1_MAX_Y_MIN.pdf - CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha

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Unformatted text preview: CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo GALILEO GALILEI Logro de aprendizaje de la sesión: Determina y aplica los valores extremos de una función mediante los criterios de la primera y segunda derivada para representarlos grácamente. Valores Máximos y Mínimos Denición. Se dice que f (c) es un valor máximo local de la función f , si f (x) ≤ f (c) para todo x cecano a c. De similar manea, f (c)es un valor mínimo local de la función f , si f (x) ≥ f (c) para todo x cecano a c. Nota: A los valores máximo y mínimo local se les denomina extremos locales o relativos. Teorema. Si f (c) es un extremo local de la función f entonces f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe. Denición. Un punto c del dominio de una función f para el cual f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe, se denomina punto crítico de f o valor crítico de f . 1 APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejemplo 1. Encuentre los puntos críticos de la Ejemplo 2. Encuentre los puntos críticos de la siguiente función: 2 f (x) = 3x 3 − 2x siguiente función: f (x) = x+3 x2 Funciones Crecientes y Decrecientes Denición. La función f es creciente en el intérvalo I si: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ I . y es decreciente si: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ I Teorema. Sea f continua en [a, b], y diferenciable en (a, b)entonces: a) Si f 0 (x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en (a, b). b) Si f 0 (x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en (a, b). Ejemplo 3. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función dada: f (x) = (x − 1)3 + 1 UTP Sede Arequipa Página 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA Criterio de la Primera y Segunda Derivada Criterio de la Primera Derivada Sea f una función contínua en un intérvalo I y sea c un punto crítico de f . Si existe un intérvalo (a, b) ⊂ I que contiene a c, entonces: a) Si f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, c) y f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (c, b), entonces f (c) es un máximo local de f en I . b) Si f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (a, c) y f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (c, b), entonces f (c) es un mínimo local de f en I . c) Si f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (a, c) y f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (c, b), o si f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, c) y f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (c, b), entonces f (c) no es máximo ni mínimo local. Criterio de la Segunda Derivada Dada la función f la cual es dos veces diferenciable en el intérvalo abierto I que contiene al punto crítico c en el cual f 0 (c) = 0, entonces: a) Si f 00 (x) > 0 entonces f (c) es el valor mínimo local de f en I . b) Si f 00 (x) < 0 entonces f (c) es el valor máximo local de f en I . c) Si f 00 (x) = 0 no podemos armar nada, se analiza por el criterio de la primera derivada para x = c. Concavidad, Puntos de Inexión y Gráca de Funciones Denición. La gráca de una función diferenciable y = f (x) en un intérvalo I , es cóncava hacia arriba en I , si f 0 es creciente en I , y cóncava hacia abajo en I , si f 0 es decreciente en I. Criterio de Concavidad. Sea y = f (x) dos veces diferenciable en un intérvalo I . a) Si f 00 (x) > 0 en I , entonces la gráca de f es cóncava hacia arriba ∀x ∈ I . b) Si f 00 (x) < 0 en I , entonces la gráca de f es cóncava hacia abajo ∀x ∈ I . Denición. Un punto (x0 , f (x0 ))es un punto de inexión de f , si f es continua en x = x0 y cambia de concavidad en dicho punto. UTP Sede Arequipa Página 3 APLICACIONES DE LA DERIVADA MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 Semana 9 Sesión 1 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Determine los intérvalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f (x) = x2 +2 x2 −4x 2. Determine los intérvalos de crecimiento y decrecimiento de la función: √ 3 2 f (x) = x − 1. 3. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 2 UTP Sede Arequipa Página 4 ´ APLICACIONES DE LA DERIVADA 2 4. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = 4x − 6x 3 5. Trazar la gráca de las siguientes funciones: √ f (x) = x x + 6 6. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = x UTP Sede Arequipa p 1 − x2 Página 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 7. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = x3 3x − 2 8. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = UTP Sede Arequipa x3 + 4 2x − 2 Página 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 EJERCICIOS ADICIONALES 1. Determine los intérvalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f (x) = x2 + 16 x2 3. Trazar la gráca de las siguientes funciones: y = x3 − 3x + 3, [−2, 5/2] UTP Sede Arequipa 2. Determine los intérvalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f (x) = x ln x 4. Trazar la gráca de las siguientes funciones: f (x) = 41 x4 − x3 + x2 Página 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA 5. Trazar la gráca√de las siguientes funciones: f (x) = x 3 + x 6. Trazar la gráca de las siguientes fun2 ciones: f (x) = x2x−4 7. Si f (x) = ax3 + bx2 determine a, b y c de modo que la gráca de f tenga un punto de inexión en el punto (1,2) 8. Si f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, determine a, b y c de modo que la gráca de f tenga un extremo relativo en el punto (0,3) y que la gráca de tenga un punto de inexión en el punto (1,-1). UTP Sede Arequipa Página 8 APLICACIONES DE LA DERIVADA MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1 TAREA DOMICILIARIA 1. Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones: 3 +2 a) f (x) = 2xx+1  b f (x) = ln 8x − x2 2. Gracar la siguiente función, determinando los puntos máximos, mínimos, inexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento e intervalos de concavidad. √ f (x) = x2 9 − x 3. Gracar la siguiente función, determinando los puntos máximos, mínimos, inexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento e intervalos de concavidad. f (x) = √ 3 RESPUESTAS 1. a) x = −3; −1; −0,5; b) x = 4 2. P.C.: x = 0; 36 5 ; 9 punto de inexión x = 4,26; 39,5 √ x = ± 3 √ Máximo   − 3; −1,375 , mínimo 3; 1,375 , punto de inexión x = 0; ±3 3. P.C.: √ 4. P.C.: x = 0, −2, −3 Máximo (−2, 1,587), mínimo (0, 0), punto de inexión x = −3 5. A.V.: −x, P.C.: x = √ x = ±2, A.O.: y = √  0, ± 12, ±2 Máximo 12, −5,196 , √  mínimo − 12, 5,196 , punto de inexión x = 0, ±2 x x2 −1 4. Gracar la siguiente función, determinando los puntos máximos, mínimos, inexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento e intervalos de concavidad. 1 2 f (x) = x 3 (x + 3) 3 5. Gracar la siguiente función, determinando los puntos máximos, mínimos, inexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento e intervalos de concavidad. f (x) = UTP Sede Arequipa x3 4 − x2 Página 9 ...
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  • Summer '19
  • JAIME ALFONSO FERNANDEZ CAYCHO

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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