1.命题逻辑.pdf - 命题逻辑 公式之间的关� 范式和基本定理 推理和证明方法 命题逻辑 School of Computer Wuhan University c

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Unformatted text preview: 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 命题逻辑 School of Computer Wuhan University c hfwang - 1/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 1 命题逻辑 命题 符号化 合式公式的形式文法 合式公式的形式语义 2 公式之间的关系 公式的语义性质 逻辑等价 永真蕴涵关系 恒等变换与不等变换 对偶性 3 范式和基本定理 极大项 主合取范式 主析取范式 联结词的扩充与规约 4 推理和证明方法 有效结论 自然推理的形式证明 证明方法 c hfwang 范式和基本定理 推理和证明方法 - 2/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 1 命题逻辑 命题 符号化 合式公式的形式文法 合式公式的形式语义 2 公式之间的关系 公式的语义性质 逻辑等价 永真蕴涵关系 恒等变换与不等变换 对偶性 3 范式和基本定理 极大项 主合取范式 主析取范式 联结词的扩充与规约 4 推理和证明方法 有效结论 自然推理的形式证明 证明方法 c hfwang 范式和基本定理 推理和证明方法 - 3/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Truth or False 左手在画右手; 右手在画左手; 画中有两个手. c hfwang - 4/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Truth or False 左手在画右手; 右手在画左手; 画中有两个手. c hfwang - 4/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Truth or False 左手在画右手; 右手在画左手; 画中有两个手. c hfwang - 4/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Truth or False 左手在画右手; 右手在画左手; 画中有两个手. c hfwang - 4/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Aristotle (384 BC — 322 BC) c hfwang - 5/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑(Logic) Logic 自从有了语言,就有了对客观世界的描述,也就有了真假; 逻辑学正是研究真假的普遍规律的科学,形式逻辑是用符号 化方法研究逻辑,也称为符号逻辑,是数理逻辑的基础; 数理逻辑的主要研究内容:公理化集合论,证明论,模型论 和递归论. c hfwang - 6/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑(Logic) Logic 自从有了语言,就有了对客观世界的描述,也就有了真假; 逻辑学正是研究真假的普遍规律的科学,形式逻辑是用符号 化方法研究逻辑,也称为符号逻辑,是数理逻辑的基础; 数理逻辑的主要研究内容:公理化集合论,证明论,模型论 和递归论. c hfwang - 6/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑(Logic) Logic 自从有了语言,就有了对客观世界的描述,也就有了真假; 逻辑学正是研究真假的普遍规律的科学,形式逻辑是用符号 化方法研究逻辑,也称为符号逻辑,是数理逻辑的基础; 数理逻辑的主要研究内容:公理化集合论,证明论,模型论 和递归论. c hfwang - 6/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑(Logic) Logic 自从有了语言,就有了对客观世界的描述,也就有了真假; 逻辑学正是研究真假的普遍规律的科学,形式逻辑是用符号 化方法研究逻辑,也称为符号逻辑,是数理逻辑的基础; 数理逻辑的主要研究内容:公理化集合论,证明论,模型论 和递归论. c hfwang - 6/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 命题(Proposition) Key Ideal Symbolize reasing encountered not only in mathematics, but also in daily Life. Definition (命题) 有唯一真假值的陈述语句(Declarative Sentence). c hfwang - 7/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 命题(Proposition) Key Ideal Symbolize reasing encountered not only in mathematics, but also in daily Life. Definition (命题) 有唯一真假值的陈述语句(Declarative Sentence). c hfwang - 7/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Examples Example 糖是炭水化合物. — (简单命题) 张三有博士文凭. — (简单命题) 因为我肚子疼,所以我没去上课. — (复合命题) Every even natural number > 2 is the sum of two prime numbers. (简单命题) Non-examples (非命题) 现在几点钟?— (疑问句) 学计算机的人你伤不起啊,有木有!— (祈使句) x + y > 4 — (真假值不确定) Non-example (悖论Paradox) 我正在说谎(Epimenides’paradox or liar paradox). c hfwang - 8/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 符号化 符号化 每个具体的命题都有真假值,记真命题为: T,假命题为: F; 将不能再分的最小命题单位用符号表示: P, Q, R, S, ..., 称 为:原子(atom); 原子通过联结词(connectives)按照一定的规则组成复合命题. c hfwang - 9/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 联结词 c hfwang 名称 否定 合取 析取 蕴涵 英文 negation conjunction disjunction implication 符号 ¬ ∧ ∨ → 等值词 biconditional ↔ 解释 非P P和Q,P并且Q P或者Q P蕴涵Q, P是Q的充分条件(necessary) Q是P的必要条件(sufficient) P称为前提 (premise, hypothesis) Q称为结论 (conclusion, consequence) P是Q的充要条件, P if and only if (iff) Q - 10/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example 你可以上网,仅当你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学 生. 符号化命题中的原子 A: 你可以上网; C : 你是计算机专业的学生; F : 你是一年级的学生. 用联结词合成原命题 c hfwang 1 你不是一年级的学生:¬F ; 2 你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学生: C ∨ ¬F ; 3 原命题: A → (C ∨ ¬F ). - 11/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example 你可以上网,仅当你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学 生. 符号化命题中的原子 A: 你可以上网; C : 你是计算机专业的学生; F : 你是一年级的学生. 用联结词合成原命题 c hfwang 1 你不是一年级的学生:¬F ; 2 你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学生: C ∨ ¬F ; 3 原命题: A → (C ∨ ¬F ). - 11/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example 你可以上网,仅当你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学 生. 符号化命题中的原子 A: 你可以上网; C : 你是计算机专业的学生; F : 你是一年级的学生. 用联结词合成原命题 c hfwang 1 你不是一年级的学生:¬F ; 2 你是计算机专业的学生或者你不是一年级的学生: C ∨ ¬F ; 3 原命题: A → (C ∨ ¬F ). - 11/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 合式公式(Well-Formed Formulas) Alphabet Constant: T, F; Atoms: P, Q, R, · · · ; Connectives: ¬, ∧, ∨, →, ↔; Punctuation: ( , ). 递归定义 1 Base: Constant & Atoms are well-formed formulas (WFF); 2 Induction Rule: if A & B are WFF, then (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) are WFF; A & B称为递归定义中的元变量(metavariable); 3 极小性条款:由以上规则在有限步生成的都是WFF. 合式公式也称为命题公式,完形公式,简称为公式. c hfwang - 12/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 合式公式(Well-Formed Formulas) Alphabet Constant: T, F; Atoms: P, Q, R, · · · ; Connectives: ¬, ∧, ∨, →, ↔; Punctuation: ( , ). 递归定义 1 Base: Constant & Atoms are well-formed formulas (WFF); 2 Induction Rule: if A & B are WFF, then (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) are WFF; A & B称为递归定义中的元变量(metavariable); 3 极小性条款:由以上规则在有限步生成的都是WFF. 合式公式也称为命题公式,完形公式,简称为公式. c hfwang - 12/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 合式公式(Well-Formed Formulas) Alphabet Constant: T, F; Atoms: P, Q, R, · · · ; Connectives: ¬, ∧, ∨, →, ↔; Punctuation: ( , ). 递归定义 1 Base: Constant & Atoms are well-formed formulas (WFF); 2 Induction Rule: if A & B are WFF, then (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) are WFF; A & B称为递归定义中的元变量(metavariable); 3 极小性条款:由以上规则在有限步生成的都是WFF. 合式公式也称为命题公式,完形公式,简称为公式. c hfwang - 12/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Example Example (A → (C ∨ (¬F )))是公式. Proof. 1 2 3 4 1 A, C , F 是公式, 根据规则 ; 1 2 (¬F )是公式,根据 和规则 ; 1 和规则 2 2 (C ∨ (¬F ))是公式,根据 ; 1 和规则 3 2 (A → (C ∨ (¬F )))是公式,根据 . Example (→ (C ∨ (¬F )))不是公式, 没有规则生成(→ A)形式的公式; (A ⇒ (C ∨ (¬F )))不是公式, ⇒不是联结词. c hfwang - 13/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑运算的优先级别和简化表示 最外层的括号可以掉; 运算的优先级别由高到低:括号, ¬,∧,∨,→,↔; 同一二元运算符号按从左到右进行结合. (A → (C ∨ (¬F ))) 可以简写为:A → C ∨ ¬F ((P ∨ Q) ∨ R) 可以简写为:P ∨ Q ∨ R 注意 P ∨ Q ∧ R ≡ P ∨ (Q ∧ R) 6= (P ∨ Q) ∧ R P → Q → R ≡ (P → Q) → R 6= P → (Q → R) c hfwang - 14/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑运算的优先级别和简化表示 最外层的括号可以去掉; 运算的优先级别由高到低:括号, ¬,∧,∨,→,↔; 同一二元运算符号按从左到右进行结合. (A → (C ∨ (¬F ))) 可以简写为:A → C ∨ ¬F ((P ∨ Q) ∨ R) 可以简写为:P ∨ Q ∨ R 注意 P ∨ Q ∧ R ≡ P ∨ (Q ∧ R) 6= (P ∨ Q) ∧ R P → Q → R ≡ (P → Q) → R 6= P → (Q → R) c hfwang - 14/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 逻辑运算的优先级别和简化表示 最外层的括号可以去掉; 运算的优先级别由高到低:括号, ¬,∧,∨,→,↔; 同一二元运算符号按从左到右进行结合. (A → (C ∨ (¬F ))) 可以简写为:A → C ∨ ¬F ((P ∨ Q) ∨ R) 可以简写为:P ∨ Q ∨ R 注意 P ∨ Q ∧ R ≡ P ∨ (Q ∧ R) 6= (P ∨ Q) ∧ R P → Q → R ≡ (P → Q) → R 6= P → (Q → R) c hfwang - 14/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 逻辑运算的基本法则 每一个命题都可以符号化为一个公式; 每个命题中的原子的真假一旦确定,则该命题的真假也唯一 确定,即对应公式的真假值也唯一确定. 为个方便书写,用0表示假值,1表示真值. Definition (Truth Table) 表示公式中原子的真假和公式真假值之间的关系. 各种联结词的真值表 P 0 0 1 1 c hfwang Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P ∧Q 0 0 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 P→Q 1 1 0 1 P↔Q 1 0 0 1 - 15/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 逻辑运算的基本法则 每一个命题都可以符号化为一个公式; 每个命题中的原子的真假一旦确定,则该命题的真假也唯一 确定,即对应公式的真假值也唯一确定. 为个方便书写,用0表示假值,1表示真值. Definition (Truth Table) 表示公式中原子的真假和公式真假值之间的关系. 各种联结词的真值表 P 0 0 1 1 c hfwang Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P ∧Q 0 0 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 P→Q 1 1 0 1 P↔Q 1 0 0 1 - 15/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 逻辑运算的基本法则 每一个命题都可以符号化为一个公式; 每个命题中的原子的真假一旦确定,则该命题的真假也唯一 确定,即对应公式的真假值也唯一确定. 为个方便书写,用0表示假值,1表示真值. Definition (Truth Table) 表示公式中原子的真假和公式真假值之间的关系. 各种联结词的真值表 P 0 0 1 1 c hfwang Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P ∧Q 0 0 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 P→Q 1 1 0 1 P↔Q 1 0 0 1 - 15/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 逻辑运算的基本法则 每一个命题都可以符号化为一个公式; 每个命题中的原子的真假一旦确定,则该命题的真假也唯一 确定,即对应公式的真假值也唯一确定. 为个方便书写,用0表示假值,1表示真值. Definition (Truth Table) 表示公式中原子的真假和公式真假值之间的关系. 各种联结词的真值表 P 0 0 1 1 c hfwang Q 0 1 0 1 ¬P 1 1 0 0 P ∧Q 0 0 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 P→Q 1 1 0 1 P↔Q 1 0 0 1 - 15/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks 蕴涵式只有在条件为真结论为假时取假值,其他的情况均是真. Example 如果你的月收入超过3500元,你就要纳税; 如果月收入超过了3500元,但是没有纳税,则该蕴涵式成立,即为假; 该蕴涵式没有任何的月收入低与3500元的信息,如果月收入不到3500元, 或者纳税,或者没有纳税都是可能的,即为真. 由于简单命题在符号化为原子时,剥离了原子之间可能存在的语义关系,蕴涵 式的真假仅与条件结论的真假相关,而与条件和结论是否有语义关联无关,称 这样的蕴涵为实质蕴涵. 还有其他蕴涵,如语义蕴涵和逻辑蕴涵等 ( ). Example If today is Friday, then 2+3=5. (True) If today is Friday, then 2+3=6. (True, except Friday) c hfwang - 16/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks 蕴涵式只有在条件为真结论为假时取假值,其他的情况均是真. Example 如果你的月收入超过3500元,你就要纳税; 如果月收入超过了3500元,但是没有纳税,则该蕴涵式不成立,即为假; 该蕴涵式没有任何的月收入低与3500元的信息,如果月收入不到3500元, 或者纳税,或者没有纳税都是可能的,即为真. 由于简单命题在符号化为原子时,剥离了原子之间可能存在的语义关系,蕴涵 式的真假仅与条件结论的真假相关,而与条件和结论是否有语义关联无关,称 这样的蕴涵为实质蕴涵. 还有其他蕴涵,如语义蕴涵和逻辑蕴涵等 ( ). Example If today is Friday, then 2+3=5. (True) If today is Friday, then 2+3=6. (True, except Friday) c hfwang - 16/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks 蕴涵式只有在条件为真结论为假时取假值,其他的情况均是真. Example 如果你的月收入超过3500元,你就要纳税; 如果月收入超过了3500元,但是没有纳税,则该蕴涵式不成立,即为假; 该蕴涵式没有任何的月收入低与3500元的信息,如果月收入不到3500元, 或者纳税,或者没有纳税都是可能的,即为真. 由于简单命题在符号化为原子时,剥离了原子之间可能存在的语义关系,蕴涵 式的真假仅与条件结论的真假相关,而与条件和结论是否有语义关联无关,称 这样的蕴涵为实质蕴涵. 还有其他蕴涵,如语义蕴涵和逻辑蕴涵等 ( ). Example If today is Friday, then 2+3=5. (True) If today is Friday, then 2+3=6. (True, except Friday) c hfwang - 16/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks 蕴涵式只有在条件为真结论为假时取假值,其他的情况均是真. Example 如果你的月收入超过3500元,你就要纳税; 如果月收入超过了3500元,但是没有纳税,则该蕴涵式不成立,即为假; 该蕴涵式没有任何的月收入低与3500元的信息,如果月收入不到3500元, 或者纳税,或者没有纳税都是可能的,即为真. 由于简单命题在符号化为原子时,剥离了原子之间可能存在的语义关系,蕴涵 式的真假仅与条件结论的真假相关,而与条件和结论是否有语义关联无关,称 这样的蕴涵为实质蕴涵. 还有其他蕴涵,如语义蕴涵和逻辑蕴涵等 ( ). Example If today is Friday, then 2+3=5. (True) If today is Friday, then 2+3=6. (True, except Friday) c hfwang - 16/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 公式的语义 Notation 记n个原子P1 , P2 , . . . , Pn 的公式G 为:G (P1 , P2 , . . . , Pn ) Definition 设G (P1 , P2 , . . . , Pn )是一公式,对hP1 , P2 , . . . , Pn i的一次取 值hx1 , x2 , . . . , xn i, xi ∈ {0, 1}, 称为一个指派(Assignment). Property 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )一共有2n 个不同的指派. Notation 记P1 , P2 , . . . , Pn n的指派I = hx1 , x2 , . . . , xn i为:I = x1 x2 · · · xn Example G (P, Q) = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的4个指派是:I0 = 00, I1 = 01, I2 = 10, I3 = 11 注意:指派的下标的二进制编码和对应指派的关系. c hfwang - 17/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 解释(Interpretation) Definition 设I = x1 x2 · · · xn 为公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的一个指派,则公式G 在在指派I 的值, 记为:I (G ), 递归定义如下: I (T) = 1, I (F) = 0; I (G ) = xi , 8 > > > > < I (G ) = > > > > : if G ≡ Pi ; ¬I (A), if G = ¬A I (A) ∧ I (B), if G = A ∧ B I (A) ∨ I (B), if G = A ∨ B I (A) → I (B), if G = A → B I (A) ↔ I (B), if G = A ↔ B Definition 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )在2n 的指派下的值所构成的表称为公式G 的真值表. c hfwang - 18/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 解释(Interpretation) Definition 设I = x1 x2 · · · xn 为公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的一个指派,则公式G 在在指派I 的值, 记为:I (G ), 递归定义如下: I (T) = 1, I (F) = 0; I (G ) = xi , 8 > > > > < I (G ) = > > > > : if G ≡ Pi ; ¬I (A), if G = ¬A I (A) ∧ I (B), if G = A ∧ B I (A) ∨ I (B), if G = A ∨ B I (A) → I (B), if G = A → B I (A) ↔ I (B), if G = A ↔ B Definition 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )在2n 的指派下的值所构成的表称为公式G 的真值表. c hfwang - 18/77 - 命题逻辑 范式和基本定理 公式之间的关系 推理和证明方法 Example 公式G = ¬((P ∨ Q) ∧ P)的真值表 I0 I1 I2 I3 c hfwang = 00 = 01 = 10 = 11 P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∨Q 0 1 1 1 (P ∨ Q) ∧ P 0 0 1 1 G 1 1 0 0 - 19/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks(1/2) 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的语义解释实际上是一个函数: {0, 1} × {0, 1} × · · · × {0, 1} −→ {0, 1} {z } | n次 hx1 , x2 , . . . , xn i 7−→ G (x1 , x2 , . . . , xn ) 这样的函数称为布尔函数(Boolean Function); 真值表的指派排列次序最好按照二进制数由小到大的次序排列; 形式系统的构成:“形式结构+ 语义” ( ); 逻辑问题转换为计算问题. Problem 是否对任意的一个布尔函数都可以找到一个公式,使得该公式的语义 解释和对应的布尔函数一样? c hfwang - 20/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks(1/2) 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的语义解释实际上是一个函数: {0, 1} × {0, 1} × · · · × {0, 1} −→ {0, 1} {z } | n次 hx1 , x2 , . . . , xn i 7−→ G (x1 , x2 , . . . , xn ) 这样的函数称为布尔函数(Boolean Function); 真值表的指派排列次序最好按照二进制数由小到大的次序排列; 形式系统的构成:“形式结构+ 语义” ( ); 逻辑问题转换为计算问题. Problem 是否对任意的一个布尔函数都可以找到一个公式,使得该公式的语义 解释和对应的布尔函数一样? c hfwang - 20/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks(1/2) 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的语义解释实际上是一个函数: {0, 1} × {0, 1} × · · · × {0, 1} −→ {0, 1} {z } | n次 hx1 , x2 , . . . , xn i 7−→ G (x1 , x2 , . . . , xn ) 这样的函数称为布尔函数(Boolean Function); 真值表的指派排列次序最好按照二进制数由小到大的次序排列; 形式系统的构成:“形式结构+ 语义” ( ); 逻辑问题转换为计算问题. Problem 是否对任意的一个布尔函数都可以找到一个公式,使得该公式的语义 解释和对应的布尔函数一样? c hfwang - 20/77 - 命题逻辑 公式之间的关系 范式和基本定理 推理和证明方法 Remarks(1/2) 公式G (P1 , P2 , . . . , Pn )的语义解释实际上是一个函数: {0, 1} × {0, 1} × · · · × {0, 1} −→ {0, 1} {z } | n次 hx1 , x2 , . . . , xn i 7−→ G (x1 , x2 , . . . ,...
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  • Spring '15
  • TANG CUNCHENG

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    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

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    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

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    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

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