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Unformatted text preview: -Brousseau, G~~;'Los-obstáculos epistemológicos y los problemas en matemáticas·, en Recherches en Didacüque des Matbémetiques. 4(2),. México, DIE-Cirwestav: 1983, .165-198. . Los Obstáculos Epistemológicos y los Pí"Oblemas en Matemáticas* Por Guy Brousseau l. Introducción 1.0. Tema del Estudio. t Un alumno no hace matemáticas si no plantea y no resuelve problemas. Todo el mundo está de acuerdo con lo anterior. Las dificultades comienzan cuando se trála de saber cuáles problemas él debe plantearse, quién los plantea, y cómo. 1.1. Concepciones clásicas de la noción de problema. Para simplificar estas dificultades, parece que los especialistas en didáctica de las matemáticas ensayan, desde hace algún tiempo, de proyectar la colección de problemas imaginables sobre un sub-espacio, producto de los componentes siguientes: 1.1.1. Las intenciones metodológicas del profesor. Es la componente descrita al principio del "libro del problema" de Glaeser y de sus colaboradores (problemas de investigación, de entrenamiento, de introducción, etcétera... ). 1.1.2. Las intenciones didácticas y los objetivos (por ejemplo los de Bloom): adquisiciones de conocimientos, mejor comprensión, análisis, etcétera. 1.1.3. El contenido matemático: casi siempre la cuestión consiste en requerir del alumno el establecer una fórmula verdadera dentro de una teoría en curso de estudio. El contenido de un próblema es entonces a priori definible como una pareja ..(T, f); T siendo una teoría supuesta " explicitada en el curso y f la fórmula a encontrar, a establecer o a colocar en una demostración deT. Esta concepción permite en principio de colocar los problemas unos con relación a otros, a condición de tener una axiomática conveniente de la teoría por enseñar: las discusiones sobre la selección de la mejor axiomática sustentan la mayor parte de las investigaciones sobre los programas desde hace años. "La mejor axiomática" sería aquella que permitiría con el mínimo 'Ponencia presentada en la reunÍón ~e la CIAEEM en Louvaín-La-Neuve, Bélgica, 1976. ,G63 Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] de esfuerzo de aprendizaje o de enseñanza, engendrar la colección de los teoremas-problemas, de examen o de control, fijados por un consenso sociaL ¿Es necesario prever varias teorías particulares que uno relacionará enseguida (tendencia "clásica"), o una teoría unitaria general de la cual uno deduce las otras (tendencia "moderna")? ¿Hacen falta muchos axiomas débiles y bien ordenados (Diendonné: Álgebra lineal y Geometría Elemental)?, ¿pocos axiomas potentes (Choquet: La enseñanza de la geometría)? ¿axiomas "evidentes" o axiomas "muy elaborados"? En la ausencia de una teoría conveniente del conocimiento apoyándose sobre una teoría pertinente de! aprendizaje, las discusiones no han dado jamás lugar a eshldl0S experimentales científicos. Esta concepción permite, por otra parte, distinguir dos cosas: La pareja (T, f) que caracteriza al problema, y la demostración de T-f, la cual puede ser el objeto de un estudio matemático o metamatemático. Y esta distinción va a servir de base a una nueva descomposición del contenido matemático, siguiendo dos criterios diferentes, pero vecInOs: - El dominio de aplicación: (la teoría T), opuesto a la "estructura" matemática o lógica que opera sobre T. -- El modelo matemático (en el sentido de los logicistas), opuesto al lenguaje. Estos pares de caracteres opuestos corresponden a los rasgos distintivos sobre los cuales los profesores se apoyan espontáneamente: abstracto-concreto, contenido-fornlal, teórÍco­ práctico, etcétera... pero su puesta en obra no ha proporcionado jamás ni tipologías utilizables ni Índices objetivos. 1.1.4. Componentes metamatemáticos. De hecho, todas las tentativas de descripciones racionales y formales de las matemáticas son utilizadas para tratar de construir variables intermedias que, sin ser el contenido mismo, pemIitírán engendrarlo a menor costo. La concepción de los problemas sobre la fomla T-f conduce frecuentemente a asimilar las hipótesis a 10 que es conocido, las conclusiones a lo que se busca (o a la inversa) y la Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] resolución a un camino que coincidiría fácilmente con la demostración buscada. Ciertas demostraciones pueden ser obtenidas sin mucha reflexión, por la aplicación de una sucesión finita de especificaciones conocidas de antemano: existe entonces un alooritmo ó ., autómata productor de la demostración particular buscada. En este caso, puede hacerse la descripción, clásica y maravillosamente simple y gratificante para el profesor, de la actividad cognitiva del alumno, de! aprendizaje y del rol del que enseña. El maestro enseña al alumno, quien lo memoriza, el algoritmo que permite establecer los teoremas. L1.5. La componente heurística. Pero para otras demostraciones, no existen tales algoritmos. Para no renunciar al modelo de adquisición precedente, uno va a imaginar que la demostración puede ser conducida por "intuiciones" que jugarán un poco el papel de los algoritmos. Estas intuiciones podrán ser racionalizadas localmente, una vez que la puesta en obra de una teoría ya constituida proporcione la demostración buscada o una parte de ésta (uno aplicará un teorema) -la selección de las teorías o de las estructuras estando igualmente i JI guiada por heurísticas, que uno puede, después, invocar para justificar el procedimiento seguido. A pesar de su carácter un poco ad hoc, estos conceptos no faltan de interés, como lo muestran en este encuentro (ref. a la CIEAEM, 1976) las exposIciones de G. Glaeser, de G. Paquette, M. Ciosek, F. Wilson, de C. Janvier, etcétera... 1.2. Crítica de estas con~.epciones. Yo contesto la validez de tal descomposición clasificatoria, a pesar de las facilidades que procura, porque conduce a aceptar pre-supuestos lamentables, separando los elementos que funcionan juntos. 1.2.1. El sujeto. El sujeto --el alumno-- está ausente de este análisis, donde no aparece más que como un receptor, un registrador extremadamente simplificado que el saber adquirido no modifica sensiblemente, ni, sobre todo, estructuralmente. ~ 1.1..2. La significación y el sentido. De la misma fonna, y por vía de consecuencia, la significación de la matemática desaparece: . L65 Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] todo lo que hace, no solamente la verdad, sino el interés de un teorema y con eso, lo que F. Ganseth llamaba el carácter idóneo (idoneidad) de un conocimiento matemático, 10 que hace que este conocimiento exista como solución óptima dentro del campo definido por un cierto número de restricciones (relativas al sujeto cognoscente o al conocimiento mismo), lo que hace de él un objeto en el sentido de R. Thom, una solución a un problema y en fin, lo que dice el interés del problema mismo. El sentido de un conocimiento matemático se define --no solamente por la eolección de situaciones donde este conocimiento es realizado en t&"1to que teoría matemática (semántica en el sentido de Camap)- no solamente por la colección de situaciones donde el sujeto la ha encontrado como medio de solución, sino también por el conjunto de concepciones, de elecciones anteriores que rechaza, de los errores que evita (yo agreK.arÍa: las economías que procura, las fOlTImlaciones que retorna y muchas otras cosas que forman también parte de su "'t'$ sentido). 1.2.3. El aprendizaje. La construcción axiomática sugiere también un aprendizaje férico donde el volumen de conocimientos -inmediatful1ente adquiridos, estructurados, utilizables y transferibles- se infla en un espacio virgen. Pero ... -< Una noción aprendida no es utilizable más que en la medida en que ella está relacionada a otras, estas relaciones qQnstituyen su significación, su etiqueta, su método de activación. - Pero ella no es aprendida más que en la medida en que ella es utilizable y utilizada efectivamente, es decir solamente si ella es una solución del problema. Estos problemas, conjunto de restricciones a las cuales responde, constituyen la significación de la noción. Ella .• no es aprendida más que si ella "tiene éxito" y hace falta por tanto un territolio de puesta en práctica. Este territorio no es más que raramente general y definitivo. - Del hecho de este empleo localizado, la noción recibe particularizaciones, limitaciones, deformaciones de lenguaje y de sentido: si esta concepción particular de la noción es irunediatamente eliminada por otra más económica, o más general, o menos falsa, ella no es V aprendida y no puede servir para crear el sentido de las adquisiciones posteriores. - Si tiene éxito suficientemente bien y por un tiempo suficiente, toma un valor, una O,...". . 'vu Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] consistencia, una significación, un desarrollo que hacen cada vez más dificil su modificación, su reconsideración, su generalización o su rechazo: se convierte a la vez, para las adquisiciones posteriores, un obstáculo pero también un punto de apoyo. Esto muestra: - Porqué el aprendizaje no puede hacerse según el esquema clásico de la adquisición progresiva y continua (tal que para toda adquisición existe una sucesión finita de adquisiciones que aportan, cada una, una cantidad de información ta.l'1 pequeña como se quiera y como le sea equivalente). Y en consecuencia, - porqué la confusión entre algoritmo de establecimiento de una fónnula y algoritmo de adquisición de un saber está desprovista de fundamento. 1.2.4. Algoritmo y razonamiento. He estudiado sobre varios ejemplos todas las consecuencias nefastas de esta confusión sobre el aprendizaje de las operaciones en N. Enseñando por los mismos procedimientos, a la misma edad, tanto una teoría sofisticada, la de probabilidades y de estadísticas, como esos pretendidos "mecanismos" de operación, creo haber mostrado que esta separación entre mecanismo y razonamiento no era ni necesaria ni, aun, útil; el aprendizaje se hace por la puesta a prueba de concepciones sucesivas, provisoria y relativamente buenas, que será necesario rechazar sucesivamente o retomar en una verdadera epistemología, nueva cada vez. Si las condiciones lo exigen, el alumno puede él mismo resumir en "automatismo" actividades complejas, retirando sentido y posibilidades de elección a su actividad. Pero para que esos aU,~omatismos puedan ser utilizados es necesario que sean esta,bkcidos por el sujeto mismo. 1.2 5. Obstáculos. Los trabajos COnfOTIl1eS a las concepciones de Bachelard y de Piaget muestran también que el error y el fracaso no tienen el rol simplificado que en ocasiones uno quiere hacerles jugar. El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar que uno cree en las teorías empiristas ° conductistas del aprendizaje, sino el. cfecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela falso, o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos e imprevisibles, se han constituidos en Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] obstáculos. Tanto en el funcionamiento del maestro como en el del alumno, el error es constitutivo del sentido del conocimiento adquirido. 1.3. Importancia de la enseñanza organizada por los problemas. 1.3.1. Interacciones. Admitiremos por tanto que la constitución del sentido, tal como 10 entendemos, implica una interacción constante del alumno con .situaciones problemáticas, interacción dialéctica (porque el sujeto anticipa, finaliza sus acciones) donde él compromete conocimientos anteriores, los somete a revisión, los modifica, los completa o los rechaza para [onnar concepciones nuevas. El objeto principal de la didáctica es justamente estudiar las condiciones que deben cumplir las situaciones o los problemas prop!lestos al alum...'1o para favorecer la aparición, el funcionamiento y el rechazo de esas concepciones. Puede deducirse de ese régimen discontinuo de adquisiciones que los caracteres infonnacionales de esas situaciones deben también variar por saltos. 1.3.2. Condiciones En esas condiciones el interés de un problema va a depender esencialmente de lo que el alumno comprometerá ahí, de lo que ahí meterá a prueba, de lo que invertirá, de la importancia para él de los rechazos que será conducido a hacer, y de las consecuencias previsibles de esos rechazos, de la frecuencia con la cual arriesgaría cometer esos errores rechazados y de su importancia. Así los problemas más interesantes serán aquellos que permitirán franquear un verdadero obstáculo. Es porque, a propósito de problemas, he querido examinar la cuestión de los obstáculos en didáctica. 2. La Noción de Obstáculo. 2.0. Obstáculos epistemológicos. El mecanismo de la adquisición de conocimientos tal como lo hemos descrito antes puede aplicarse tanto ti la epistemología o a la historia de las ciencias, como al aprendizaje y a la enseñanza. En un caso como en el otro, la noción de obstáculo aparece como nmdamentaJ para plantear el problema del conocimiento científico. Hay que referirse a Bachelard quien fue el .l,o~ Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] • primero en adelantar esta idea. "No se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad, la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano; es en el acto mismo de conocer íntimamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional lentitudes y problemas ... Uno conoce contra un conocimiento lli'1terior". 2.0.1 Bachelard estudia esos obstáculos en las cienc'~l'as t~lsl·cas·. la exp" enenCla pnmera, el conocimiento general. el obstáculo verbal, la utilización abusiva de imágenes familiares, el conocimiento unitario y pragmático, el obstáculo substancialista, realista, animista, aquel del conocimiento cuantitativo. Son grandes obstáculos han resistido largo tiempo. probable que tengan su equivalente en el pensamiento del niño. El medio ambiente material y cultural actual ha, sin duda, modificado un poco las condiciones dentro de las cuales los niños encuentran esos obstáculos, y los estudios de ese sujeto están en curso. 2.0,2. En matemáticas, un trabajo muy importante de epistemología ha sido emprendido en direcciones vecinas de las de Bachelard, en el ámbito de Althusscr, por gentes como P. Rayrnond, Badiau, Ovaert, Hanzel, ... etcétera. No proporciona, de momento, una lista de obstáculos tan simple como la de Bachelard; pero, grandes rasgos se desprenden así como clases de obstáculos, porque la noción de obstáculo misma está en vías de c6rtstituirsc y de diversificarse; no es fácil decir generalidades pertinentes sobre el tema, vale más hacer estudios caso por caso. Puede decirse que al lado del trabajo de registro y descripción de los grandes obstáculos a la constitución de conceptos, se desarrollan estudios que tratan sobre las caracteristicas de funcionamiento de los conocimientos, a la vez como apoyo y como obstáculo (alternativamente y dialécticarnente). Además, la noción de obstáculo tiene tendencia a extenderse fuera del campo estricto de la epistemología: en didáctica, en psicología, en psico-sociología, etcétera .... 2.1. Manifestación de los obstáculos en didáctica de las matemáticas. 2.1.1 Errores. Un obstáculo se manifiesta, por tanto, por sus errores, pero esos errores no son debidos al azar. 069 Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] Fugaces, erráticos, son reproducibles, persistentes. Además esos errores, en un mismo sujeto, están ligados entre el10s por una fuente común, una manera de conocer, una concepción característica, coherente si no correcta, antigua y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones. Esos errores no son t{)fzosamente explícitables. Sucede que no desaparecen radicalmente, de un sólo golpe, que resisten, qllC persisten, luego resurgen, se manifiestan mucho tiempo después que el sujeto haya rechazado de s:¡ sistema cognoscitivo consciente el modelo defectuoso. Ejemplo: un estudiante utiliza el "teorema" siguiente: "Si el término general de una serie tiende hacia cero, la serie converge". ¿Está distraído?, ¿recita mal --invirtiendo hipótesis y conclusión- un teorema del curso?, ¿ha comprendido mal la noción del límite?, ¿o la de serie?, ¿es un crror sobre las condiciones 'JI necesarias y suficientes? Aproximando este error a algunos otros, se comprende que de manera inconsciente este estudiante haya hecho un cierto razonamiento, falseado por una representación incorrecta de las reales que remonta a la enseñanza primaria y secundaria. El razonamiento es más.Q menos éste: "si Xi tiende hacia cero, existe un rango n a partir del cual los Xi son despreciables; a partir de ese n uno no suma prácticamente nada, luego la serie converge". Puede ser que este estudiante no escribiría este razonamiento sin percatarse de que es falso, pero le parece evidente, porque reposa sobre una práctica constante en la enseñanza primaria y secundaria: el teorema siguiente: "VXE R (O en Q) VE> O :3 d f. D: Ix - d I < f," es interpretado implícitamente y,en ocasiones explícitamente por: "En todo cálculo práctico :3 n E N tal que V x E R, :3 dE D tal que [ Ix - dI < 10. ::::> (x - d) es 0 "prácticamente despreciable", es decir nulo]. (D es el conjunto de decimales). Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] 070 Esta idea se apoya sobre una "mala" definición de los decimales vehiculada desde la enseñanza elemental y sobre la cual regresaremos más adelante. 2.1.2. Franqueamiento. El obstáculo está constituido como un conocimiento con objetos, relaciones, métodos de aprehensión, previsiones con evidencias, consecuencias olvidada'), ramificaciones imprevistas ... Va a resistir el rechazo, tentará, como se debe, de adaptarse localmente, de modificarse al menor precIo, de optimizarse sobre un campo reducido siguiendo un proceso de acomodamiento bien conocido. Es por eso que hace falta un flujo suficiente de situaciones nuevas, no asimilables por él, que van a desestabilizarlo, a rendirlo ineficaz, inútil, falso, que van a hacer necesaria la reconsideración o el rechazo, el olvido, la "scotomisation" hasta en sus últimas manifestaciones. También, franquear un obstácdo exige un trabajo de igual naturaleza que el establecimiento de un conocimiento, es decir, interacciones rechazadas, dialécticas del alumno con el objeto de su conocimiento. Esta observación es fundamental para distinguir lo que es un verdadero problema; es una situación que peImite esta dialéctica y que la motiva. 2.1.3. Características informacionales de un obstáculo. Un conocimiento, como un obstáculo, es siempre el fruto de una interacción del alumno con su medio y más precisamente con una situación que hace el conocimiento "interesante" -quiero decir "óptima" en un cierto dominio definido por características numéricas "infonnacionales" de este conocimiento. El conocimiento, el hombre y el medio siendo lo que son, es inevitable que esta interacción desemboque a concepciones "erróneas". De todos modos estas concepciones son comandadas por las condiciones de la interacción que uno puede más o menos modificar. Es el objeto de la didáctica. -~ Esta declaración tiene importantes consecuencias, en principio para la enseñanza: así, si uno quiere desestabilizar una noción bastante enraizada, será ventajoso que el alunmo pueda invertir Digitalizado por: I.S.C. Hèctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected] 071 suficientemente sus concepciones dentro de situaciones - bastante numerosas e importantes para él - y sobre todo, con condiciones informacionales suficientemente diferenciadas para que un salto cualitativo sea nccesa.rio. Ejemplo: un niño de seis años sabe distinguir los números hasta 4 o 5 con la ayuda ...
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