Soluci\u00f3n Pr\u00e1ctica S14 - Optimizaci\u00f3n De Funciones.docx - Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingenier\u00eda SOLUCI\u00d3N SESI\u00d3N 14 Optimizaci\u00f3n aplicada a

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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería SOLUCIÓN SESIÓN 14 Optimización aplicada a la Ingeniería y Gestión Empresarial 1. Tres fábricas están situados en los vértices de un triángulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre si de 16 Km están situados en la base, mientras que la fábrica A dista 10 Km de la base del triángulo. ¿A qué distancia de A, a lo largo de la altura, se debe colocar una instalación de bombeo de agua de manera que se emplee la menor longitud de cañerías para abastecer de agua las tres fábricas? Solución: Sea x la distancia buscada desde A, hasta M. Hagamos un gráfico del problema, Usando el teorema de Pitágoras se encuentra la hipotenusa del triángulo rectángulo BMN , esto es, 64 +( 10 x ) 2 . Además como el triángulo ABC es isósceles, es decir el ángulo B es igual al ángulo C , además AN , es altura, lo cual cae perpendicularmente al lado BC , de esto se tiene que el triángulo BAN es congruente con el triángulo CAN . Por tanto N es punto medio del lado BC . Sea L la longitud de las cañerías, para abastecer de agua a las tres fábricas, L = AM + BM + CM El objetivo es minimizar L L = x + 2 64 +( 10 x ) 2 Derivando L , tenemos L ' = 1 2 ( 10 x ) 64 +( 10 x ) 2 Igualamos a cero para optimizar: 1 2 ( 10 x ) 64 + ( 10 x ) 2 = 0 1 = 2 ( 10 x ) 64 + ( 10 x ) 2 64 + ( 10 x ) 2 = 2 ( 10 x ) Podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad, pues 10 x > 0 , representa longitud (ver gráfico), entonces: B A C 8 8 M N
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 64 + ( 10 x ) 2 = 4 ( 10 x ) 2 64 = 3 ( 10 x ) 2 64 3 = ( 10 x ) 2 →± 64 3 = 10 x→ x = 10 ± 64 3 El valor que nos interesa es x = 10 64 3 →x ≈ 5.4 Para asegurar que nos genera un mínimo, usamos el criterio de la primera derivada, para esto usamos puntos cercanos al 5.4, estos serán 5 y 6, luego reemplazamos en la primera derivada y analizamos en la recta real: El cambio de menos a más garantiza que el valor para x = 5.4 genera un mínimo, por lo tanto la instalación de bombeo se debe colocar a 5.4 km del vértice A . 2. Se dispone de un trozo de madera que tiene la forma de un tronco de cono circular recto de 10 cm de altura, y se desea cortar un sólido cilíndrico del mayor volumen posible. Las bases del tronco tienen como diámetros 4 y 9 cm, respectivamente. a) Calcular las dimensiones del cilindro. b) Calcular el volumen del cilindro. Solución: Sea el cilindro de color negro y líneas punteadas el cilindro buscado, llevando la gráfica en un sistema de coordenadas, vamos a asumir que el radio de la base es x , y la altura es y El par ordenado ( x, y ) satisface la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,10) y (4.5,0), es decir: y =− 4 ( x 4.5 ) → y =− 4 x + 18 Reemplazando en la fórmula del volumen del cilindro: V = π r 2 h : V = π x 2 ( 4 x + 18 ) V = π ( 4 x 3 + 18 x 2 ) (2,10) (4.5,0) 5.4 5 6 - +
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería a) Para hallar las dimensiones del cilindro, derivamos la función objetivo(volumen del cilindro) y luego igualamos a cero: V ' = π ( 12 x 2 + 36 x ) π ( 12 x 2 + 36 x ) = 0 12 x ( x
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