3.5.ppt - 3.5 两个随机变量 函数的分布 当随机变量 X1 X2 …,Xn 的联合分 布已知时,如何求出它们的函数 Yi=gi(X1 X2 …,Xn

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3.5 两个随机变量 函数的分布 我们先讨论两个随机变量的函数的分布 问题,然后将其推广到多个随机变量的情形 . 当随机变量 X 1 , X 2 , …, X n 的联合分 布已知时,如何求出它们的函数 Y i = g i ( X 1 , X 2 , …, X n ), i =1,2,…, m 的联合分布 ?
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应指出的是, 将两个随机变量函数的分布问题 推广到 n 个随机变量函数分布问题 的繁杂程度的提高, 并没有本质的差异 . 只是表述和计算 一、离散型分布的情形 ) , ( Y X 是二维离散型随机向量, ) , ( y x g 是一个二 元函数, ) , ( Y X g 作为 ) , ( Y X 的函数是一个随机变 量, 如果 ) , ( Y X 和概率分布为 ). , 2 , 1 , ( } , { j i p y Y x X P ij j i
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) , ( Y X g Z 的所有可能取值为 , , 2 , 1 , k z k Z 的概率分布为 }, , { } ) , ( { } { ) , ( k j i z y x g j i k k y Y x X P z Y X g P z Z P . , 2 , 1 k
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1 设随机向量 ) , ( Y X 的概率分布如右表 : 求随机向量 ) , ( Y X 的函 Z 的分布 : X Y -1 0 1 2 -1 2 0.2 0.15 0.3 0.1 0.1 0 0.1 0.05 (1) ; Y X Z ; XY Z (2) ) , ( Y X 的概率分布可得 ij p ) , ( Y X Y X Z XY Z 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,0) (2,1) (2,2) -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 0 -1 -2 -2 0 2 4
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与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同 , Z 值相同项对应的概率值合并可得 : (2) XY Z 的概率分布为 (1) 的概率分布为 Y X Z ; 05 . 0 1 . 0 0 4 . 0 1 . 0 15 . 0 2 . 0 4 3 2 1 0 1 2 i p Z . 05 . 0 1 . 0 2 . 0 15 . 0 1 . 0 4 . 0 4 2 1 0 1 2 i p Z
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2 X Y 独立, P ( X = k )= a k , k =0,1,2, …, P ( Y = k )= b k , k =0,1,2,… , Z = X + Y 的概率 函数 . : ) ( ) ( r Y X P r Z P r i i r Y P i X P 0 ) ( ) ( = a 0 b r + a 1 b r -1 +…+ a r b 0 r i i r Y i X P 0 ) , ( 由独立性 此即离散 卷积公式 r =0,1,2, …
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解:依题意 r i i r Y i X P r Z P 0 ) , ( ) ( 3 X Y 相互独立 , 它们分别服从参 数为 的泊松分布 , 证明 Z = X + Y 服从参数 2 1 , 2 1 的泊松分布 . 由卷积公式 i =0,1,2,… j =0,1,2,… ! ) ( i e i X P i 1 1 ! ) ( j e j Y P j 2 2
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r i i r Y i X P r Z P 0 ) , ( ) ( 由卷积公式 r i 0 i - r 2 - i 1 - i)! - (r e i! e 2 1 r i r e 0 i - r 2 i 1 ) ( i)! - (r i! r! ! 2 1 , ) ( ! 2 1 ) ( 2 1 r r e Z 服从参数为 的泊松分布 . 2 1 r =0,1 ,…
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4 X Y 相互独立, X ~ B ( n 1 , p ), Y ~ B ( n 2 , p ) , Z = X + Y 的分布 . 回忆对服从二项分布的随机变量所作的 直观解释 : 我们给出不需要计算的另一种证法 : 同样, Y 是在 n 2 次独立重复试验中事件 A 出现 的次数 , 每次试验中 A 出现的概率为 p . X ~ B ( n 1 ,p), X 是在 n 1 次独立重复 试验中事件 A 出现的次数 , 每次试验中 A 出现的概率都为 p .
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Z = X + Y 是在 n 1 + n 2 次独立重复试 验中事件 A 出现的次数,每次试验中 A 出现的概率为 p ,于是 Z 是以( n 1 + n 2 p )为参数的二项随机变量,即 Z ~ B ( n 1 + n 2 , p ) .
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