Funciones de variable compleja.pdf - Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA \u00b4 CON APLICACIONES A LA TEOR\u00b4 IA DE NUMEROS El camino m\u00b4

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Unformatted text preview: Carlos Ivorra Castillo FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA ´ CON APLICACIONES A LA TEOR´ IA DE NUMEROS El camino m´ as corto entre dos verdades del an´ alisis real pasa por el an´ alisis complejo. Jacques Hadamard ´Indice General Introducci´ on ix Cap´ıtulo I: El plano complejo 1.1 Funciones de variable compleja . . . . 1.2 Transformaciones de M¨ obius . . . . . . 1.3 Las funciones trigonom´etricas inversas 1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 ´Indices de arcos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 12 17 21 Cap´ıtulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivaci´ on de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 La integral curvil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 El teorema y las f´ ormulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Cap´ıtulo III: Series de Taylor 3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergencia casi uniforme . . 3.3 Series de potencias . . . . . . . 3.4 Consecuencias de los desarrollos . . . . . . de . . . . . . . . . . . . Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 56 62 68 Cap´ıtulo IV: Productos infinitos 4.1 Productos num´ericos . . . . . . . . . . 4.2 Productos de funciones . . . . . . . . . 4.3 Factorizaci´ on de funciones holomorfas 4.4 N´ umeros de Bernoulli . . . . . . . . . 4.5 La f´ ormula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 . 80 . 84 . 91 . 99 . 106 Cap´ıtulo V: El teorema de Cauchy 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . 5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . . 5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . 5.4 Clasificaci´on de singularidades aisladas 5.5 Funciones peri´ odicas . . . . . . . . . . 5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 111 111 116 120 126 133 139 ´INDICE GENERAL vi Cap´ıtulo VI: La funci´ on factorial 145 6.1 Construcci´ on de la funci´ on factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 Otras expresiones para la funci´ on factorial . . . . . . . . . . . . . 149 6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Cap´ıtulo VII: Series de Dirichlet 7.1 Convergencia de las series de Dirichlet 7.2 Funciones aritm´eticas . . . . . . . . . 7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . . 7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . 7.5 La distribuci´ on de los n´ umeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 160 169 181 184 194 Cap´ıtulo VIII: El teorema de los residuos 8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Aplicaciones al c´alculo de integrales . 8.3 El teorema de Rouch´e . . . . . . . . . 8.4 Sumas de Gauss cuadr´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 217 220 236 244 Cap´ıtulo IX: Funciones Harm´ onicas 9.1 Relaci´on con las funciones holomorfas . 9.2 Propiedades de las funciones harm´ onicas 9.3 Funciones subharm´ onicas . . . . . . . . 9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 256 259 267 272 Cap´ıtulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.2 El teorema peque˜ no de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.3 El teorema grande de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Cap´ıtulo XI: La funci´ on dseta de Hurwitz 11.1 Definici´ on y prolongaci´ on anal´ıtica . . . 11.2 La ecuaci´on funcional . . . . . . . . . . 11.3 Los ceros de la funci´ on dseta . . . . . . 11.4 Funciones L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 299 305 310 317 Cap´ıtulo XII: Transformaciones conformes 325 12.1 Transformaciones de M¨ obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12.2 Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.3 El teorema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Cap´ıtulo XIII: Funciones multiformes 13.1 Prolongaci´ on anal´ıtica . . . . . . . 13.2 Funciones multiformes meromorfas 13.3 Singularidades aisladas . . . . . . . 13.4 Superficies de Riemann . . . . . . 13.5 Superficies de g´ermenes . . . . . . 13.6 Planos tangentes y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 361 365 368 376 381 387 ´INDICE GENERAL Cap´ıtulo XIV: Funciones algebraicas 14.1 Singularidades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 La configuraci´ on anal´ıtica de una funci´ on algebraica 14.3 Ra´ıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Superficies de Riemann compactas . . . . . . . . . . 14.5 Funciones harm´ onicas en superficies de Riemann . . vii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 394 397 401 410 413 Bibliograf´ıa 427 ´ Indice de Materias 428 Introducci´ on Los n´ umeros complejos son una creaci´on esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fueran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez m´as evidencias de que los n´ umeros imaginarios resultantes de admitir al n´ umero i como si fuera un n´ umero real m´as eran suficientes para resolver cualquier ecuaci´ on polin´ omica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostr´o en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ra´ıces en C: ´este es el teorema fundamental del a´lgebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho m´as simple, pero no menos importante, fue que la aritm´etica √ de los n´ umeros complejos, introducida formalmente a partir de la relaci´ on i = −1, tiene una interpretaci´ on geom´etrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretaci´ on puede considerarse como el punto de partida del estudio anal´ıtico de los n´ umeros complejos. En t´erminos modernos C recibe la topolog´ıa de R2 y la relaci´ on de esta topolog´ıa con su aritm´etica es la misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresi´ on l´ım z→z0 f (z) − f (z0 ) z − z0 para cualquier funci´ on compleja f definida en un entorno del punto z0 . Se abre as´ı una teor´ıa de derivaci´ on de funciones complejas similar a su an´ aloga real. Sus s´olidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos art´ıculos que dedic´ o a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades b´ asicas con demostraciones pr´acticamente id´enticas (se trata de las propiedades que dependen directamente de la topolog´ıa y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teor´ıa pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el an´ alisis real es esencialmente geom´etrico, en el sentido de la mayor´ıa de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretaci´ on geom´etrica de la derivada, la geometr´ıa apenas interviene en el an´ alisis complejo. Existe ciertamente una interpretaci´ on geom´etrica de la derivada compleja (o, m´as precisamente, del m´odulo y del argumento de la derivada), pero normalmente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes: ix x Introducci´ on • Si una funci´ on real derivable tiene un m´ aximo relativo en un punto entonces su derivada es nula en dicho punto. • Si una funci´ on compleja derivable tiene un m´ aximo relativo (en m´ odulo) en un punto entonces es constante. El primero es geom´etricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no hemos de pensar por esto que la derivaci´ on compleja es una mera abstracci´on formal de la derivaci´ on real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teor´ıa descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geom´etricas sencillas, la derivaci´ on compleja combina las t´ecnicas anal´ıticas con la est´etica y la profundidad del a´lgebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios f´ aciles de enunciar, pero abstractos y l´ ogicamente distantes de las definiciones. Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teor´ıa y as´ı, mientras la gu´ıa del an´ alisis real es que las funciones derivables son las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es u ´til pensar que las funciones derivables son como “polinomios de grado infinito”, hecho nada evidente a partir de la definici´ on, pero que vuelve naturales los teoremas b´ asicos. He aqu´ı un ejemplo : • Si el conjunto de puntos donde una funci´ on derivable compleja se anula tiene un punto de acumulaci´ on (en el dominio de la funci´ on) entonces dicha funci´ on es id´enticamente nula. Se trata del an´ alogo infinito al hecho de que si un polinomio se anula en un conjunto infinito de puntos entonces es id´enticamente nulo. El caso infinito es un resultado profundo en el sentido de que no es evidente a partir de la definici´ on de derivada, ni a´ un de los hechos b´ asicos sobre funciones derivables, pero es natural a partir de la analog´ıa con los polinomios que acabamos de explicar. Este car´acter algebraico-anal´ıtico de la teor´ıa se refleja en sus aplicaciones. Aunque muchas de ellas pertenecen al an´ alisis real, an´ alisis de Fourier o incluso a la f´ısica (mec´anica de fluidos, electricidad, etc.), una parte importante corresponde a la teor´ıa de n´ umeros, y lo m´as notable es que no s´olo permite probar resultados anal´ıticos del tipo de relaciones asint´ oticas, como el teorema de los n´ umeros primos, sino tambi´en profundos teoremas de enunciados estrictamente aritm´eticos o algebraicos. De hecho, muchos de los problemas en que se puede aplicar con ´exito la teor´ıa de funciones de variable compleja no muestran en principio relaci´ on alguna con los n´ umeros complejos. Pongamos un ejemplo sencillo pero ilustrativo de este fen´ omeno. xi Consideremos la funci´ on f : R −→ R dada por f (x) = 1/(1 + x2 ). Es una funci´ on infinitamente derivable, luego podemos investigar la convergencia de su serie de Taylor alrededor de 0. Si intentamos calcular sus derivadas sucesivas obtenemos expresiones cada vez m´as complicadas, pero podemos observar que si |x2 | < 1 entonces 1/(1 + x2 ) es la suma de la serie geom´etrica de raz´on −x2 . Por lo tanto ∞  1 = (−1)n x2n . 1 + x2 n=0 Una serie de potencias es siempre su serie de Taylor, luego hemos encontrado el desarrollo de Taylor de la funci´ on f . Es inmediato que la serie converge s´olo cuando |x| < 1. Surge entonces la pregunta de por qu´e la convergencia se interrumpe en −1. O tal vez no surge. Podr´ıa pensarse que esto es as´ı, como acabamos de probar, y que no tiene sentido buscar un porqu´e m´as alla de la prueba anterior u otra similar. Sin embargo, la teor´ıa de funciones de variable compleja aporta una explicaci´ on m´as profunda. Consideremos la funci´ on f : C \ {±i} −→ C dada por f (z) = 1/(1 + z 2 ), la extensi´on natural de la funci´ on de partida. El mismo argumento de antes prueba que ∞  f (z) = (−1)n z 2n , para |z| < 1. n=0 Las series de potencias convergen siempre en discos a funciones continuas, y ahora est´ a claro por qu´e no puede convergen m´ as all´ a del disco unidad: porque f presenta discontinuidades en los puntos ±i, luego no existe ninguna extensi´ on continua de f a un disco abierto mayor que |z| < 1. La funci´ on original f ten´ıa un problema (o mejor dicho, dos problemas), pero fuera de la recta real. Considerar su restricci´ on a R oscurece la situaci´on, a pesar de que f puede aparecer al abordar un problema que s´ olo involucre n´ umeros reales. Similarmente, las t´ecnicas complejas se aplican al c´alculo de l´ımites, integrales, suma de series de funciones, c´alculo de series de Fourier, y muchos otros problemas de planteamiento estrictamente real. En este libro veremos muchos ejemplos de este tipo, pero a la hora de mostrar aplicaciones menos sencillas nos hemos inclinado hacia la teor´ıa de n´ umeros por dos razones. Por una parte es m´ as f´ acil exponer de forma “casi autocontenida” y motivada problemas aritm´eticos, a menudo de planteamiento elemental, y por otro lado las aplicaciones a la teor´ıa de n´ umeros muestran el sorprendente papel de “bisagra” que juega la derivaci´ on compleja entre el ´algebra y el an´ alisis, que es, a nuestro juicio, una de las caracter´ısticas m´as notables de la teor´ıa. Tambi´en debemos recordar que la derivaci´ on compleja est´a relacionada con la geometr´ıa deferencial. La memoria de Riemann sobre variedades diferenciables que dio origen a la geometr´ıa diferencial moderna estuvo motivada en parte por sus investigaciones sobre la materia que nos ocupa. Veremos algo acerca de esto en los u ´ltimos cap´ıtulos. Tambi´en daremos una demostraci´on del teorema de la curva de Jordan basada en las propiedades de los logaritmos complejos. xii Introducci´ on La mayor parte de este libro est´a dedicada a exponer los resultados b´ asicos de la teor´ıa, acompa˜ nados de numerosas aplicaciones que muestren su potencia. Para seguirla adecuadamente el lector debe conocer los resultados topol´ ogicos b´ asicos: propiedades de los espacios compactos, conexos, topolog´ıa producto, funciones continuas, l´ımites, etc. (por lo general en Rn ), los resultados elementales sobre espacios de funciones: convergencia puntual y uniforme, etc. (tambi´en para funciones en Rn , especialmente en R2 , aunque una cierta familiaridad con el caso de R puede ser suficiente), as´ı como los resultados fundamentales del an´alisis real: diferenciabilidad, integrales, series, etc. (incluyendo la teor´ıa b´ asica de la integral de Lebesgue). Algunas aplicaciones a la teor´ıa de n´ umeros requieren la aritm´etica elemental (n´ umeros primos, divisores, etc.) y un m´ınimo de a´lgebra (no m´ as all´a de saber qu´e es un grupo o un anillo cociente). Para acabar debo hacer constar que la primera versi´ on de los ocho primeros cap´ıtulos del libro (aproximadamente) fue elaborada conjuntamente con mi amiga Pilar Rueda, y a ella le deben mucho de lo que son. Sin duda, en los cap´ıtulos posteriores se echar´a de menos su buen criterio y su eficiencia pues, en contra de lo que ambos hubi´eramos deseado, tuvimos que descomponer nuestro proyecto com´ un en dos proyectos independientes, uno de los cuales termina en este libro. Cap´ıtulo I El plano complejo Dedicamos este primer cap´ıtulo a introducir los conceptos b´ asicos relacionados con los n´ umeros complejos junto con algunos resultados anal´ıticos y topol´ ogicos que vamos a necesitar m´as adelante. Recordemos que los n´ umeros complejos son de la forma z = a + bi, donde a y b son n´ umeros reales e i es la unidad imaginaria, caracterizada por que i2 = −1. Esta ecuaci´on, junto a las leyes de cuerpo, determina la suma y el producto de los n´ umeros complejos, pues (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = (ac − bd) + (ad + bc)i. Los n´ umeros reales a y b de la expresi´ on bin´ omica anterior est´an un´ıvocamente determinados por el n´ umero complejo z. Se llaman respectivamente parte real (Re z) y parte imaginaria (Im z) de z. Esta unicidad nos permite identificar el cuerpo C de los n´ umeros complejos con el espacio R2 , asociando a cada n´ umero a + bi el par ordenado (a, b). Esto nos da una interpretaci´ on geom´etrica de C como el conjunto de todos los puntos de un plano coordenado, de modo que los n´ umeros reales ocupan el eje horizontal (eje real) mientras que el eje vertical (eje imaginario) est´ a ocupado por los n´ umeros de la forma bi, llamados tambi´en imaginarios puros. a + bi b i 1 a Con esta identificaci´ on, las funciones Re : C −→ R e Im : C −→ R son simplemente las proyecciones de R2 en R. 1 2 Cap´ıtulo 1. El plano complejo Existe un u ´nico automorfismo de C que fija a los n´ umeros reales (y no es la identidad), llamado conjugaci´ on y que viene dado por z = a + bi = a − bi. Geom´etricamente se trata de la simetr´ıa respecto al eje real. Como ya hemos dicho, la conjugaci´ on es un automorfismo, es decir, cumple z1 + z2 = z 1 + z 2 , z1 z2 = z 1 z 2 . Adem´as z = z y z = z si y s´olo si z ∈ R. La norma eucl´ıdea en R2 se corresponde con el m´ odulo de un n´ umero complejo  √ |z| = |a + bi| = a2 + b2 = zz. De las propiedades de la conjugaci´ on se deduce inmediatamente que |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Notemos que el m´odulo extiende al valor absoluto en R, por lo que usamos la misma notaci´on. Puesto que zz = |z|2 , para z = 0 se cumple z −1 = z/|z|2 . Consideraremos a C como espacio topol´ogico con la topolog´ıa usual de R2 , que es la topolog´ıa dada por el m´ odulo, o tambi´en la topolog´ıa producto inducida por R. Es costumbre usar llamar discos a lo que en la teor´ıa general de espacios m´etricos se llaman bolas. Usaremos la notaci´on D(z0 , ) = {z ∈ C | |z − z0 | < }. Los discos cerrados los expresaremos como las clausuras de los discos abiertos: D(z0 , ) = {z ∈ C | |z − z0 | ≤ }. Conviene extender el plano complejo C a˜ nadi´endole un punto infinito, con lo que obtenemos el espacio compacto C∞ = C ∪ {∞}, donde los entornos abiertos de ∞ son los complementarios de los subconjuntos compactos de C. La proyecci´on estereogr´afica nos da un homeomorfismo entre C∞ y una esfera, por lo que a C∞ se le llama esfera de Riemann. Formalmente no necesitaremos este hecho. Adem´as de la representaci´on bin´ omica a + bi, todo n´ umero complejo admite la representaci´ on polar, de la forma z = |z|(cos θ + i sen θ). Si z = 0, el n´ umero real θ est´a determinado por z salvo m´ ultiplos enteros de 2π y se llama argumento de z. As´ı, todo n´ umero complejo z = 0 est´a un´ıvocamente determinado por su m´ odulo y por uno cualquiera de sus argumentos. Llamaremos Arg z al conjunto de los argumentos de z. Tenemos que si θ es un argumento de z entonces Arg z = {θ + 2kπ | k ∈ Z}. z |z| sen θ θ cos θ 1.1. Funciones de variable compleja 1.1 3 Funciones de variable compleja Las funciones de variable real m´ as importantes admiten una extensi´ on natural a funciones de variable compleja. El caso m´ as simple es el de los polinomios. Cada polinomio con coeficientes reales define una funci´ on sobre C que extiende a la funci´ on que define sobre R. Claramente se trata de una funci´ on continua. M´ as a´ un, todo polinomio p(z) ∈ C[z] define una funci´ on continua en C∞ si admitimos que p(∞) = ∞. Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precauci´ on de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en ∞ se extienden con el valor del l´ımite, finito o infinito, y el resultado es siempre una funci´ on continua). Por ejemplo, la funci´ on f (z) = z2 1 +1 toma el valor ∞ en ±i y toma el valor 0 en ∞. ´ Quiz´ a la funci´ on real m´ as importante sea la funci´ on exponencial. Esta admite una extensi´ on al plano complejo que es sin duda la funci´ on m´as importante de variable compleja. La definici´ on que vamos a dar puede parecer muy artificial, pero veremos enseguida que as´ı se conservan las muchas propiedades de la funci´ on real, y m´ as adelante probaremos...
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  • Fall '16
  • Apolinio Navez Ramirez

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