auxiliar7_MA1001_2012.pdf - INTRODUCCI\u00d3N AL C\u00c1LCULO Oto\u00f1o 2011 Profesor Ra\u00fal Uribe Auxiliares Braulio S\u00e1nchez I Carlo Saavedra M CLASE AUXILIAR 7

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Unformatted text preview: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO Otoño 2011 Profesor: Raúl Uribe Auxiliares: Braulio Sánchez I., Carlo Saavedra M. CLASE AUXILIAR # 7 Trigonometría II Ecuaciones Trigonométricas (1) sin(x) = a |a| > 1: La ecuación no tiene solución. |a| ≤ 1: La solución está dada por x = kπ + (−1)k arcsin(a), con k ∈ Z. (2) cos(x) = a |a| > 1: La ecuación no tiene solución. |a| ≤ 1: La solución está dada por x = 2kπ ± arc cos(a), con k ∈ Z. (3) tan(x) = a La solución está dada por x = kπ + arctan(a), con k ∈ Z. (4) a sin(x) + b cos(x) = c Para resolver este tipo de ecuación, debemos plantear un triángulo auxiliar de lados a y b. Notemos que: • sin(ϕ) = √ 2b 2 a +b √ • cos(ϕ) = 2a 2 • a +b ϕ = arctan( ab ) Dividimos toda la ecuación por anteriores, obteniendo √ a2 + b2 y reemplazamos con las expresiones cos(ϕ) sin(x) + sin(ϕ) cos(x) = √ c a2 +b2 Utilizamos la fórmula del seno de la suma y se obtiene sin(x + ϕ) = √ c a2 +b2 La ecuación anterior corresponde al caso (1). Si | √ 2c 2 | ≤ 1, entonces la soa +b lución es c )−ϕ a2 +b2 x = kπ + (−1)k arcsin( √ Teoremas en triángulos (1) Teorema del seno. sin(α) sin(β) sin(γ) = = a b c (2) Teorema del coseno: corresponde a una extensión del Teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β) Problemas P1. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica. sin(2x) = cos( 2x ) P2. Resuelva la ecuación cos(x) = P3. 2 tan(x) 1 + tan2 (x) Resuelva la ecuación 1 sin3 (x) + cos3 (x) = 1 − sin(2x) 2 P4. Resuelva la ecuación √ 3 cos(x) + sin(x) = 1 P5. P6. Se necesita conocer la altura de un árbol ubicado en la ladera de un cerro. Para esto, se ubican dos puntos A y B sobre la ladera (A más abajo que B) a una distancia d y coliniales con la base del árbol. Los ángulos de elevación desde A y B hasta la cúspide del árbol son α y β, respectivamente, y el ángulo de inclinación de la ladera es γ. Calcular la altura del árbol en función de los datos α, β, γ y d. Un poste y una antena se encuentran a una distancia a en un camino horizontal. Desde el pie del poste se mide el ángulo de elevación de la antena y desde el pie de la antena, el del poste, encontrándose que el primer ángulo es el doble del segundo. Si un observador se ubica en el punto medio M del trazo que une las bases de la antena y del poste, observa que los ángulos de elevación medidos desde M al poste y a la antena son complementarios. Calcular las alturas de la antena y del poste. P7. El paralelógramo ABCD de la gura tiene perímetro 2p y su diagonal AD mide d con ángulo opuesto α (0 < α < π y p > d ) (a) Si x e y son las longitudes de los trazos AB y BD, establezca que la supercie S del paralelógramo está dada por S = xy sin(α). (b) Demuestre que S = p2 − d 2 tan( α2 ). 2 (c) Suponiendo que x = y, calcule S en función de p y d . ...
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