IIB12_l11auka.pdf - St\u00e6r\u00f0fr\u00e6\u00f0igreining IIB D\u00e6mabla\u00f0 11 Lausnir D\u00e6mis 65 og 15.5.19 D\u00e6mi 65(Verkfr\u00e6\u00f0ilegt vi\u00f0fangsefni \u00cd gegnum k\u00falu me\u00f0

IIB12_l11auka.pdf - Stærðfræðigreining IIB Dæmablað...

This preview shows page 1 out of 4 pages.

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 4 pages?

Unformatted text preview: Stærðfræðigreining IIB Dæmablað 11 Lausnir Dæmis 65 og 15.5.19 Dæmi 65: (Verkfræðilegt viðfangsefni?) Í gegnum kúlu með geisla með geisla a/2, a er borað gat þannig að miðpunktur kúlunnar liggur á jaðri gatsins. (a) Reiknið rúmmál þess sem er eftir af kúlunni. (b) Reiknið yrborðsatarmál þess sem er eftir af kúlunni. [Notið ferilheildi til að reikna yrborðsatarmál gatsins.℄ Lausn: (0, 0, 0) Komum kúlunni þannig fyrir í rúminu að miðja hennar sé í miðás gatsins sé samsíða z -ásnum og liggi í gegnum punktinn (0, a/2, 0). 2 2 2 (a) Jaðar gatsins er hluti af sívalningnum D rúmmál þess skika hefur í sívalningshnitum lýsinguna p a2 − sívalningsins er V = − r2. dV = D = 2 3 Z Z πZ 0 Svo að rúmmál þess hluta kúlunnar sem er innan 0 √ a sin θ Z a2 −r 2 √ − a2 −r 2 0 π 0 Reiknum r = a sin θ meðp 0 ≤ θ ≤ π . Svo afmarkast z -hnitið x2 − y 2 ≤ z ≤ a2 − x2 − y 2, eða í sívalningshni- (skipt yr í sívalningshnit) Z π Z a sin θ √ Z 2 2 = 2r a − r dr dθ = 0 . sem er bæði innan sívalningsins og kúlunnar. Sívalningurinn af kúluskelinni þannig að − √ √ tum − a2 − r 2 ≤ z ≤ a2 ZZZ x + (y − a/2) = (a/2) og a3 − |a3 cos3 θ| dθ = 4 3 3  Z r dz dr dθ π 0 π/2 0 3 2 − (a2 − r 2 )3/2 3 a sin θ 0 a3 − a3 cos3 θ dθ a 2a 4 cos2 θ sin θ − sin θ = a3 θ − 3 3 3 Rúmmál þess sem eftir er af kúlunni er því  π/2 0   4 a3 π 2a3 = . − 3 2 3 3 4 3 a π − 43 a2π 3 3 − 2a3 er þetta verkefni skoðað í Example 5 í grein 14.4.  = 4a3 9 3π 2 +2  . Í bók (b) Yrborðsatarmál þess sem er eftir af kúlunni nnst með því að taka yrborðsatarmál kúlu, draga frá atarmál þess hluta kúluhvelsins sem er innan sívalningsins (borast í burt) og leggja við yrborðatarmál innraborðs gatsins. Táknum með E þann hluta xy -plansins sem er innan sívalningsins. Set z = p g(x, y) = a2 − x2 − y 2 . Flatarmál þess hluta kúluhvelsins sem er innan sívalningsins er tvöfalt atarmál þess hluta grafs g(x, y) með S. g(x, y) sem er yr E . Táknum þennan hluta grafs Þá er dS = s 1+  ∂g ∂x 2 +  ∂g ∂x 2 dA = p a dA a2 − x2 − y 2 . Svo að ZZ a(S) = dS = S a dA ZZ E p a2 − x2 − y 2 (breyti yr í pólhnit) Z πh √ Z πZ a sin θ ia sin θ r √ dr dθ = a − a2 − r 2 dθ =a 0 a2 − r 2 0 0 0 Z π =a a − |a cos θ| dθ = a2 (π − 2). 0 2 Yrborðsatarmál alls kúluhvelsins er 4a π . Yrborðsatarmál þess hluta kúluhvelsins 2 2 sem er utan sívalningsins x + y = y er 4a2 π − 2a(S) = 4a2 π − 2a2 (π − 2) = 2a2 π + 4a2 . Í bókinni er þetta verkefni lagt fyrir í dæmi 15.5.4. Þá eigum við eftir að reikna yrborðsatarmál þess hluta sívalningsins sem er xy -sléttuna má stika með r(θ) = 0 ≤ θ ≤ π . Þann hluta sívalningsins sem liggur innan kúlunnar (þ.e.a.s. innra borð gatsins) má hugsa sem borða B sem liggur √ eftir ferlinum r. Í punkti r(θ) þá er nær borðinn − a2 − r 2 niður fyrir sléttuna og √ a2 − r 2 upp fyrir hana. Flatarmál borðans fæst nú með ferilheildun, og er Z √ Z π p Z π 2 a(B) = 2 a2 − r 2 ds = 2 a2 − a2 sin θ a dθ = a 2|a cos θ| dθ = 4a2 . innan í kúluskelinni. Skurðferil sívalningsins við [a sin θ, θ] = (a sin θ cos θ, a sin2 θ) C þar sem 0 0 (Hér er notuð formúla um ferilheildi yr ferla sem gefnir eru með jöfnu í pólhnitum p ′ á forminu r = f (θ). Þá er ds = kr (θ)k dθ = r 2 + (dr/dθ)2 dθ, í okkar tilviki fæst ds = a dθ.) Þetta verkefni er leyst í Example 8 í grein 15.5 í bók. Þá er við komin með lausn á verkefninu: Yrborðsatarmál 15.5.19: = 4a2 π − 2a(S) + a(B) = 2a2 π + 4a2 + 4a2 = 2a2 π + 8a2 . Kúlulíki (e. spheroid, þýðing samkvæmt orðaskrá Íslenska stærðfræðafélagsins) er sporvala þannig að tveir af þremur hálf-ásum hennar eru jafnlangir. Jafna kúlulíkis er á forminu Kúlulíkið er sagt vera att (e. x2 y 2 z 2 + + = 1. a2 a2 c2 oblate) ef 0 < c < a. Reiknið yrborðsatarmál atts kúlulíkis. Jörðin er dæmi um att kúlulíki. Lausn: Dp = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ a2 }. Efri helmingur kúlulíkisins ákvarðast z = ac a2 − x2 − y 2 . Þennan hluta táknum við með S . Með beinum Setjum því af jöfnunni útreikningum fæst að atarmálsfrymið er jafnt dS = s 1+ = s  1+ = r x2 + y 2 c2 · dx dy a2 a2 − x2 − y 2 1+ c2 r2 · r dθ dr. a2 a2 − r 2 ∂z ∂x 2 +  ∂z ∂y 2 dx dy Í síðustu línunni hefur verið breytt yr í pólhnit. Þar með er fengið að a(S) = 2 Z aZ 0 = 4π Z 0 2π 0 r a r 1+ 1+ r2 c2 · r dθ dr a2 a2 − r 2 r2 c2 · r dr. a2 a2 − r 2 Eina (!) vandamálið nú er að reikna upp úr þessu heildi. Það er gert með innsetningu, til að fá heildi sem við getum ett upp á. Athugið að heildið sem við erum að reikna er í raun óeiginlegt heildi en með aðgát er hægt að komast hjá því að meðhöndla það 2 2 2 sem slíkt. Fyrst beitum við innsetningunni u = a − r , þá er u du = −r dr . Látum oss heilda Z ar c2 c2 a2 − u2 r2 a(S) = 4π 1+ 2 · 2 1 + r dr = 4π · u du a a − r2 a2 u2 0 0 Z r Z 4π a p 2 2 a2 − u2 4π a 2 2 u du = a +c a u + c2 (a2 − u2 ) du = a 0 u2 a 0 √ Z Z a√ 2 − c2 a 4π a p 2 2 4π = c a + (a2 − c2 )u2 du = k 2 + u2 du a 0 a 0 √  a √ 4π a2 − c2 u √ 2 k2  2 2 2 = ln u + k + u k +u + a 2 2 0 √     2 2 2 √ √ k 4π a − c a 2 ln a + k 2 + a2 − ln k k + a2 + = a 2 2 Með því að setja inn gildið á k er hægt að einfalda formúluna aðeins og ! p c/a ln(a/c + a2 /c2 − 1 . a(S) = 2πa2 1 + p 2 a /c2 − 1 Z a r Af þessari formúlu má sjá að ef kúlulíkið er kúla (þ.e.a.s. a2 c2 k = 2 a − c2 2 fá c = a) þá fáum við formúluna fyrir yrborðsatarmáli kúlu. Þessir reikningar eru náttúrulega alls ekki boðlegir. Hægt er að nálgast dæmið á annan hátt. Flatt kúlulíki er nefnilega snúðötur og hægt er að nota Setningu C tákna þann hluta skurðferils kúlulíkisins við y = 0 þar x-hnitið er ≥ 0. Kúlulíkið fæst síðan með að snúa þessum ferli einn um z -ásinn Stikun á C fæst með því að skilgreina   π π → R3 ; t 7→ (a cos t, 0, c sin t). r: − , 2 2 Pappusar (sjá grein 7.5 í bók). Látum planið hring Samkvæmt Setningu Pappusar sáluga fæst að Z a(S) =2πℓ(C)x = 2π x ds C Z π/2 p = 2π a cos t a2 sin2 t + c2 cos2 t dt −π/2 π/2 = 4πa Z q cos t c2 + (a2 − c2 ) sin2 t dt Z0 1 p = 4πa c2 + (a2 − c2 )u2 du √0 Z 4π a2 − c2 1 √ 2 k + u2 du. = a 0 Við erum komin með sama heildi og hér að ofan og það má leysa með uppettingu. 13. mars 2011 Rögnvaldur G. Möller ...
View Full Document

  • Fall '08
  • RGM

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes
A+ icon
Ask Expert Tutors