IIB12_l11.pdf - Stærðfræðigreining IIB Dæmablað 11...

This preview shows page 1 out of 6 pages.

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 6 pages?

Unformatted text preview: Stærðfræðigreining IIB Dæmablað 11 Lausnir á skiladæmum Dæmi 61: Setjum F(x,R y, z) = (axy + 3yz, x2 + 3xz + by, bxy + cy 3). (a) Reiknið ferilheildið C F · T ds þegar C er bein lína frá (0, 1, −1) til (2, 1, 1). (b) Ákvarðið gildi fyrir stuðlana a, b, c þannig að gildið á heildinu í (a)-lið verður óháð því eftir hvaða ferli frá (0, 1, −1) til (2, 1, 1) er heildað. R R Lausn: (a) Athugum að er bara annar ritháttur fyrir F · T ds F · dr. Þurfum C C að nna stikun r á C sem byrjar í (0, 1, −1) of endar í (2, 1, 1). Setjum r : [0, 1] → R3 ; r(t) = (0, 1, −1) + t(2, 0, 2) = (2t, 1, 2t − 1). Þá er r′ (t) = (2, 0, 2). Nú getum við reiknað heildið Z Z F · T ds = F · dr C ZC 1 = F(2t, 1, 2t − 1) · (2, 0, 2) dt 0 Z 1 = (2at + 3(2t − 1), (2t)2 + 6t(2t − 1) + b, 2bt + c) · (2, 0, 2) dt 0 Z 1  = (4a + 4b + 12)t + 2c − 6 dt 0  1 = (2a + 2b + 6)t2 + (2c − 6)t 0 = 2(a + b + c). (b) Samkvæmt Setningu 19.8 vitum við að ef F er stigulsvið þá er gildið á heildinu óháð vegi. Til að F = (F1 , F2 , F3 ) geti mögulega verið stigulsvið þá þurfa eftirfarandi jöfnur að gilda ∂F1 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F3 = , = , = . ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y Nú er ∂F1 = ax + 3z ∂y ∂F1 = 3y ∂z ∂F2 = 3x ∂z ∂F2 = 2x + 3z ∂x ∂F3 = by ∂x ∂F3 = bx + 3cy 2 ∂y Jafnan ∂F1 /∂y = ∂F2 /∂x gefur að a = 2. Af jöfnunni ∂F1 /∂z = ∂F3 /∂x má svo álykta að b = 3 og jafnan ∂F2 /∂y = ∂F3 /∂y leyr okkur að álykta að c = 0. Með þessi gildi á a, b og c stemma allar jöfnurnar hér að ofan. Svo F(x, y, z) = (2xy + 3yz, x2 + 3xz + 3y, 3xy). Mætti fyrir þetta vigursvið er φ(x, y, z) = x2 y + 3xyz + 32 y 2 . Dæmi 62: (a) Lýsið etinum með stikunn r(u, v) = (v cos u, v sin u, 4v) með 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 3 og notið tölvuker til að gera mynd af etinum. (b) Finnið stikunn fyrir ötinn S þar sem z 2 = 1 + x2 + y 2 og 2 ≤ z ≤ 3. Notið tölvuker til að gera mynd af etinum. Lausn: (a) Setjum x = v cos u og y = v sin u. Þetta líkist pólhnitum nema hvað v p p kemur í stað r og u í stað θ. En við sjáum að v = x2 + y 2 og því er z = 4 x2 + y 2 . Flöturinn sem um ræðir er keila. Teikningu má fá með því að búa fyrst til punktagrind á heimasvæði stikanna og nota svo surf skipunina. Þetta má gera svona: >> u=linspa e(0,2*pi); v=linspa e(0,3); [U,V℄=meshgrid(u,v); >> surf(V.* os(U), V.*sin(U),4.*V); shading interp; axis equal; Árangurinn má sjá á Mynd 1 hér að aftan. (b) Athugum að ef 2 ≤ z ≤ 3 þá er 4 = 22 ≤ z 2 = 1 + x2 + y 2 ≤ 32 = 9 eða 2 2 2 2 3 ≤ x2 + py ≤ 8. Þar sem þess er krast að z ≥ 2 > 0 þá gefur jafnan z = 1 + x + y 2 . Hér er því einfalt að nota x og y sem stika og við fáum stikunn að z = 1 + x2 + yp r(x, y) = xi + yj + 1 + x2 + y 2 k þar sem 3 ≤ x2 + y 2 ≤ 8. Nú er að okkur smá vandi á höndum við að teikna ötinn því aðferðirnar okkar við að teikna gröf og stikaeti miða allar við að fallið eða stikaöturinn séu skilgreind á rétthyrningi, en hér er skilgreiningarsvæðið milli tveggja hringja, sá innri með geisla √ √ 3 og sá ytri með geisla 8. Við förum þá leið að nota stærðfræðina til að komast framhjá vandanum en einnig √ √ hefði verið hægt að rýna í tölvukerð. Svæðinu má lýsa ójöfnunum 3 ≤ r ≤ 8 og 0 ≤ θ ≤ 2π ef notuð er pólhnit. Getum nú notað pólhnitin til að búa til nýja stikun: √ r(r, θ) = r cos θi + r sin θj + 1 + r 2 k, √ √ með 3 ≤ r ≤ 8 og 0 ≤ θ ≤ 2π . Getum nú teiknað ötinn með eftirfarandi skipunum og árangurinn má sjá á Mynd 2 hér að aftan. >> r=linspa e(sqrt(3),sqrt(8)); theta=linspa e(0,2*pi); [R,Theta℄=meshgrid(r,theta); >> surf(R.* os(Theta),R.*sin(Theta),sqrt(1+R.∧2)); >> shading interp; axis equal; zlim([0,4℄); Dæmi 63: (a) Reiknið heildi fallsins f (x, y, z) = y 2 yr ötinn S1 sem er sá hluti plansins x + y + z = 6 sem liggur yr ferningnum [0, 1] × [0, 1] í xy -planinu. (b) Notið stikunn sem byggir á kúluhnitum til að reikna heildi fallsins f (ρ, φ, θ) = cos φ yr ötinn S2 sem er sá hluti einingarkúluhvels sem liggur í 1. áttungi og ρ, φ, θ standa fyrir kúluhnit. Lausn: (a) Flöturinn sem við heildum yr er grað z = 6 − x − y með 0 ≤ x ≤ 1 og 0 ≤ y ≤ 1. Hér er s  ∂z 2  ∂z 2 p √ + dy dx = 1 + (−1)2 + (−1)2 dy dx = 3 dy dx. dS = 1 + ∂x ∂y Því er ZZ S1 y 2 dS = Z 1Z 0 1 y 0 √ 2 √ Z 3 dy dx = 3 0 1 1 3 y  3 1 0 √ √ Z 1 3 3 dx = . dx = 3 0 3 (b) Í kúluhnitum er (x, y, z) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ). Kúluhvel með geisla 1 hefur í kúluhnitum jöfnu ρ = 1 þannig að stikun á öllu kúluhvelinu fæst með því að setja r(φ, θ) = sin φ cos θi + sin φ sin θj + cos φk, með 0 ≤ φ ≤ π og 0 ≤ θ ≤ 2π . Við viljum bara þann hluta kúluhvelsins sem er í fyrsta áttungi (þ.e.a.s. x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) og því setjum við 0 ≤ φ ≤ π/2 sem tryggir að z ≥ 0 og síðan 0 ≤ θ ≤ π/2 sem tryggir að x ≥ 0 og y ≥ 0. Næst er að reikna atarmáls-frymið dS . Samkvæmt formúlu er í grein 15.5 er ∂r ∂r × dφ dθ. dS = ∂φ ∂θ Hér er og ∂r = cos φ cos θi + cos φ sin θj − sin φk, ∂φ ∂r = − sin φ sin θi + sin φ cos θj, ∂θ og og svo ∂r ∂r × = sin2 φ cos θi − sin2 φ sin θj + sin φ cos φk, ∂φ ∂θ ∂r ∂r dS = × dφ dθ ∂φ ∂θ q = sin4 φ cos2 θ + sin4 φ sin2 θ + sin2 φ cos2 φ dφ dθ q = sin2 φ(sin2 φ + cos2 φ) dφ dθ q = sin2 φ dφ dθ (notum að sin φ ≥ 0 því 0 ≤ φ ≤ π ) = sin φ dφ dθ. Getum nú reiknað heildið: Z ZZ f (ρ, φ, θ) dS = S2 = = = Z Z Z 0 0 π/2 Z π/2 cos φ sin φ dφ dθ 0 π/2 Z π/2 1 2 sin 2φ dφ dθ 0 π/2 0 π/2  − 41 cos 2φ 1 2 0 = π4 . dθ π/2 0 dθ Dæmi 64: Ritum r = xi + yj + zk. Reiknið heildi vigursviðsins F = ∇(ln |r|) yr kúluhvel K með geisla a og miðju í (0, 0, 0) og áttað þannig að þvervigrasviðið N vísar út úr kúluhvelinu. p Lausn: Byrjum á að reikna F = ∇(ln |r|). Athugum að |r| = x2 + y 2 + z 2 . Nú er ∂ p 2 x 1 ∂ |r| = · 2x = p x + y2 + z2 = p ∂x ∂x 2 x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 og því ∂ 1 ∂ 1 x x p (ln |r|) = |r| = = 2. 2 2 2 ∂x |r| ∂x |r| x + y + z |r| Á sama hátt fæst að ∂ y (ln |r|) = 2 ∂y |r| og ∂ z (ln |r|) = 2 ∂z |r| og því er F = ∇(ln |r|) =  y z 1 r x i + j + k = xi + yj + zk = 2. 2 2 2 2 |r| |r| |r| |r| |r| Snúum okkur nú að því að reikna atarheildið. Skoðum fyrst þvervigrasviðið N sem vísar út á við á kúluhvelinu. Í punkti (x, y, z) er N einingarvigur í sömu stefnu og r = xi+yj+zk  vísar beint út frá (0, 0, 0). Þar sem (x, y, z) er punktur á kúluhvelinu sem hefur jöfnu x2 + y 2 + z 2 = 1 þá er |r| = 1 og N = r/|r| = r. Heildið sem við eigum að reikna er því ZZ ZZ ZZ ZZ |r|2 r · r dS = dS = dS = Flatarmál K = 4π. F · N dS = 2 2 K |r| K K K |r| Í lokin er notað að atarmál kúluhvels með geisla a er 4πa2 en þar sem geislinn er 1 í okkar tilfelli er atarmál kúluhvelsins 4π . 18. febrúar 2012 Rögnvaldur G. Möller Mynd 1: Flöturinn stikaður af r(u, v) = (v cos u, v sin u, 4v) með 0 ≤ u ≤ 2π og 0≤v≤3 Mynd 2: Flöturinn sem ákvaraðast af z 2 = 1 + x2 + y 2 og 2 ≤ z ≤ 3 ...
View Full Document

  • Fall '08
  • RGM

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes
A+ icon
Ask Expert Tutors