IIB12_l2.pdf - Stærðfræðigreining IIB Dæmablað 2...

This preview shows page 1 out of 7 pages.

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 7 pages?

Unformatted text preview: Stærðfræðigreining IIB Dæmablað 2 Lausnir á heimadæmum Dæmi 3: Stikaferill (Úr pró í Stærðfræðigreiningu II, 1974) r : [0, 2π] → R er skilgreindur með (a) Reiknið lengd ferilsins sem r stikar. (b) Finnið stikun á snertilínu ferilsins í ( ) Reiknið krappa ferilsins í r(t) = (cos 2t, sin 2t, t2 ). r(π). r(π). (d) Finnið stikun á hjúfurplani ferilsins í r(π). (e) Tilgreinið miðju og geisla hjúfurhrings ferilsins í r(π). Lausn: Í (a) lið þurfum við almennu formúluna fyrir ferðina, en annars þurfum við í raun bara hraðavigurinn v(π), ferðina v(π) og hröðunarvigurinn a(π). Einfalt er að reikna út þessar upplýsingar: r(t) = (cos 2t, sin 2t, t2 ) v(t) = (−2 √ sin 2t, 2 cos 2t, 2t) v(t) = 2 1 + t2 a(t) = (−4 cos 2t, −4 sin 2t, 2) (a) Lengd ferilsins, táknuð með s, r(π) = (1, 0, π 2) v(π) = (0, √ 2, 2π) v(π) = 2 1 + π 2 a(π) = (−4, 0, 2). nnst með eftirfarandi heildisreikningum: √ √ t√ 1 s= 1 + t2 + ln |t + 1 + t2 | v(t) dt = 2 1 + t2 dt = 2 2 2 0 0 √ √ = 2π 1 + 4π 2 + ln |2π + 1 + 4π 2 |. Z 2π Z 2π (b) Stefnuvigur snertilínunnar  l er v(π) = (0, 2, 2π), 2π 0 svo að stikun hennar er l(u) = r(π) + uv(π) = (1, 0, π 2) + u(0, 2, 2π). ( ) Notum formúluna κ(π) = |v(π) × a(π)| . v(π)3 Nú er Svo að i j k v(π) × a(π) = (0, 2, 2π) × (−4, 0, 2) = 0 2 2π = 4i − 8πj + 8k. −4 0 2 √ |v(π) × a(π)| = 4 5 + 4π 2 . Þá er √ √ 5 + 4π 2 4 5 + 4π 2 |v(π) × a(π)| √ = = . κ(π) = v(π)3 2(1 + π 2 )3/2 (2 1 + π 2 )3 Π við r í punktinum r(π) er spannað af T(π) og N(π), v(π) og a(π), og er það mun einfaldara. Stikunin er því (d) Hjúfurplanið má nota vigrana Π : r(π) + uv(π) + wa(π) = (1, 0, π 2) + u(0, 2, 2π) + w(−4, 0, 2). en einnig Dæmi 8: Stikaferill er genn með formúlunni r(t) = e2t cos ti + e2t sin tj. r = f (θ) sem lýsir r(t) stikar þegar t fer (i) Finnið pólhnitajöfnu af taginu ferlinum. (ii) Reiknið lengd ferilsins sem frá t=0 til t = 2π . Lausn: (i) Athugum að r(t) = e2t cos ti + e2t sin tj = e2t (cos ti + sin tj) = [e2t , t]. Þannig að þegar punkturinn r(t) er ritaður á pólhnitaformi þá er e2θ . Pólhnitajafnan fyrir ferlinum sem r(t) stikar er því r = e2θ . (ii) Formúlan fyrir lengd pólhnitagrafs s= Z 2π f (θ) = e2θ 0 ≤ θ ≤ 2π r = e2t = er fæst s= Dæmi 9: þegar og p (f ′ (θ))2 + f (θ)2 dθ. 0 Í þessu dæmi með r = f (θ) θ=t Z 2π p (2e2θ )2 + (e2θ )2 dθ Z0 2π p = 4e4θ + e4θ dθ 0 Z 2π √ = 5e4θ dθ 0 Z 2π √ 5e2θ dθ = 0 "√ #2π 5 2θ = e 2 0 √  5 4π = e −1 . 2 F = ma F er vigur sem sýnir stærð og stefnu krafts em verkar á hlut, m er massi hlutarins og a er hröðunarvigur hans. Ögn með massa m ferðast um í rúmi þannig að á tíma t er hún staðsett í punktinum r(t). (Athugið að hugsa má r(t) sem vigur frá upphafspunkti O = (0, 0, 0) til punktarins þar sem ögnin er á tíma t.) Á tíma t verkar á ögnina kraftur Lögmál Newtons segir að F(t) = − c r(t) |r(t)|3 þar sem (c fasti). t skilgreindur L(t) = r(t) × (mv(t)). Sýnið að hverþunginn varðveitist, þ.e.a.s. L(t) er fastavigur óháður t. (Athugið að þetta er verkefni í stærðfræðigreiningu ekki eðlisfræði Í eðlisfræði er hverþungi (e. angular momentum) hlutarins á tíma sem vigur og munið líka að ef aeiða falls er 0 á bili þá er fallið fasti á bilinu. Gera má ráð fyrir að r(t) sé tvídiranlegur stikaferill.) sé skilgreindur fyrir t á ′ einhverju ákveðnu bili á rauntalnaásnum. Ef við getum nú sýnt að L (t) = 0 fyrir öll Lausn: gildi t þá Eðlilegt er að líta svo á að stikaferillinn er björninn unninn og við getum ályktað að r(t) L(t) sé fasti óháður t. Dirum því L(t):  L(t) = dtd r(t) × (mv(t)) (Notum Setningu 1.6(d) úr fyrirlestri eða Theorem 1(d) úr kaa 11.1 í bók)   = dtd r(t) × (mv(t)) + r(t) × dtd mv(t)) (Notum að v(t) = dtd r(t) og a(t) = dtd v(t)) = v(t) × (mv(t)) + r(t) × (ma(t)) (Notum að ma(t) = F(t) og svo formúlu fyrir F(t))  c = v(t) × (mv(t)) + r(t) × − |r(t)| 3 r(t) c = m(v(t) × v(t)) − |r(t)| 3 (r(t) × r(t)) (Notum að endingu að fyrir alla vigra u í R3 er u × u = 0) = 0. Þar sem L′ (t) = 0 Dæmi 10: fyrir öll gildi á t þá er L(t) fastavigur. p f (x, y) = c x2 + y 2 (c fasti) með gildið á c. Teiknið líka jafnhæðarferla. (i) Skoðið gröf falla af gerðinni tölvuker. Lýsið gröfunum. Hvaða áhrif hefur (ii) Teiknið gröf og jafnhæðarferla fallanna f (x, y) = xye−(x (iii) Skoðið grað 2 +y 2 ) g(x, y) = (2x2 + y 2)e1−x og z = (x2 + 1) sin y + xy 2 . 2 −y 2 . Finnið plön þannig að sniðferill plansins við grað sé (a) parabóla, (b) bein lína og ( ) sinus bylgja. (Velja má lóðrétt plön sem hafa jöfnur af taginu x = fasti eða y = fasti.) Lausn: (i) Eftirfarandi skipanir gefa okkur teikningu á granu sem jafnhæarferlar eru líka merktir inn í >> >> z = 2(x2 + y 2 ) þar xy -planinu: x=linspa e(-10,10,40); y=linspa e(-10,10,40);[X,Y℄=meshgrid(x,y); Z=2.*sqrt(X.∧2+Y.∧2); surf (X,Y,Z); axis equal Á Mynd 1 hér fyrir neðan er búið að bæta við litaskalanum við hlið grafsins og laga sjónarhornið aðeins. Greinilegt er að grað er keilukápa með z -ássins sem miðás. er c = 2 en ef önnur (0, 0, 0) sem topppunkt og jákvæða hluta c er prófuð fæst að ef c er jákvæð tala z -ássins sem miðás og eftir því sem c er tala þá er keilukápan brattari. Ef hins vegar c er neikvæð tala þá er (0, 0, 0) topppunktur en neikvæði hluti z -ássins er miðás. Ef c = 0 þá er grað jafnt Á myndinni gildi á þá er grað keilukápa með jákvæða hluta stærri áfram xy -planinu. (ii) Fyrst fyrra grað ásamt jafnhæðarferlum teiknað (Mynd 2) með skipunum: >> >> x=linspa e(-2,2,40); y=linspa e(-2,2,40);[X,Y℄=meshgrid(x,y); Z=X.*Y.*exp(-(X.∧2+Y.∧2));surf (X,Y,Z); Seinna grað er á Mynd 3 og jafnhæðarferlarnir á Mynd 4. y = π og þegar það gildi er sett inn fæst að á z = (x + 1) sin π + xπ 2 = −x2 − 1 + π 2 x sem gefur fína parabólu. 2 2 Stikun skurðferilisins er r(x) = (x, π, −x − 1 + π x). Í (b)-lið má velja planið y = 0 og í ( )-lið planið x = 0. Ef reynt er að teikna grað og merkja inn skurðferlana er (iii) Í (a)-lið má velja planið 2 skurðferlinum er ekki gott að sjá, sérstaklega í (a)- og ( )-liðum, hvað er að gerast. 12. janúar 2012 Rögnvaldur G. Möller 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 10 0 −10 Mynd 1: 0 −10 p z = 2 x2 + y 2 10 0.15 0.2 0.1 0.1 0.05 0 0 −0.1 −0.05 −0.2 2 −0.1 1 2 1 0 0 −1 −1 −2 −2 Mynd 2: z = xye−(x 2 +y 2 ) −0.15 1.8 2 1.6 1.4 1.5 1.2 1 1 0.5 0.8 0.6 0 2 0.4 1 2 1 0 0 −1 −1 −2 Mynd 3: −2 z = (2x2 + y 2 )e1−x 2 −y 2 0.2 2 1.8 1.5 1.6 1 1.4 0.5 1.2 0 1 0.8 −0.5 0.6 −1 0.4 −1.5 0.2 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 Mynd 4: Jafnhæðarferlar 0.5 1 1.5 z = (2x2 + y 2 )e1−x 2 −y 2 2 ...
View Full Document

  • Fall '08
  • RGM

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes
A+ icon
Ask Expert Tutors