MATEMATICAS - LibroTeoriaConjuntos-[READ].pdf - CURSO PR\u00c1CTICO DE TEOR\u00cdA DE CONJUNTOS Jos\u00e9 A Alonso Jim\u00e9nez Joaqu\u00edn Borrego D\u00edaz Mario de Jes\u00fas

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Unformatted text preview: CURSO PRÁCTICO DE TEORÍA DE CONJUNTOS José A. Alonso Jiménez Joaquín Borrego Díaz Mario de Jesús Pérez Jiménez José L. Ruiz Reina Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Sevilla, 10 de Julio de 2007 (versión de 11 de julio de 2007) Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento–NoComercial–CompartirIgual 2.5 Spain de Creative Commons. Se permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra hacer obras derivadas Bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor. No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, sólo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. 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Sigler [28], cuya primera edición data de 1966 (reimpreso en 1972) y se dedica básicamente a proponer y resolver los problemas del texto “Naive Set Theory"de P.R. Halmos [13]. El Curso Práctico de Teoría de Conjuntos que presentamos, trata de cubrir ese vacío bibliográfico y consideramos que puede ser de interés tanto para profesores como para alumnos universitarios que necesiten trabajar con elementos varios de la Teoría de Conjuntos (órdenes, funciones, inducción, recursión, ordinales, finitud, numerabilidad, cardinales, ...). Por tanto, puede ser un buen libro de consulta sobre estos temas a niveles de primer y/o segundo ciclo universitario. El libro consta de doce temas que podríamos denominar básicos y de un capítulo complementario de recopilación. Los temas básicos están estructurados en tres partes: la primera está dedicada a presentar un breve resumen teórico de los conceptos y resultados más importantes que se abordan en el tema; en la segunda parte se describen exhaustivamente soluciones de problemas relativos al contenido del mismo (en donde prestamos especial importancia a la presentación misma de la solución); para finalizar proponiendo ejercicios, algunos de los cuales aparecen con indicaciones explícitas que pueden ser de utilidad al lector a fin de valorar el grado de asimilación del contenido desarrollado hasta entonces (por cierto, hemos creido interesante incluir indicaciones en algunos problemas resueltos que tienen alguna dificultad especial, por si el lector desea intentar su resolución con la pista que aportamos, antes de comprobar la solución que se le presenta). 3 4 Acerca de los problemas resueltos y propuestos queremos significar que si bien un gran porcentaje de los mismos aparecen en textos habituales de Teoría de Conjuntos, muchos otros son originales de los propios autores. Hemos considerado oportuno añadir un capítulo complementario dedicado a problemas de recapitulación, en los cuales suelen utilizarse conceptos y resultados de diversos temas. Respecto a los temas relativos a cardinales (10, 11 y 12) hemos de indicar que se han desarrollado en la teoría de Zermelo–Fraenkel con el axioma de regularidad y sin el axioma de elcción (es decir, en ZF). Los resultados básicos de cardinales podrían obtenerse de manera más simple prescindiendo del axioma de regularidad y admitiendo el axioma de elección (es decir, trabajando en la teoría ZFC− , en donde todo conjunto es bien ordenable). Este “atajo.es el que aconsejamos a quienes estudien por vez primera y de manera sistemática la teoría de cardinales. Queremos hacer constar nuestro agradecimiento a los profesores A. Fernández Margarit, A. Riscos Fernández y F.F. Lara Martín, con quienes hemos compartido tareas docentes en Teoría de Conjuntos, y a A. Romero Jiménez por el trabajo dedicado a la revisión del texto y sus atinadas críticas al mismo. Si estas páginas consiguen motivar, estimular y aproximar a algún lector a los problemas de fundamentación de las Matemáticas, con ello nos daríamos por satisfecho. Los autores Sevilla, enero de 1998 Índice general Prólogo 3 Introducción históríca 9 1. Conjuntos y clases 1 1.1. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos. Clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Primeros axiomas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Relaciones y aplicaciones 21 2.1. Par ordenado y producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. Relaciones de orden 39 3.1. Órdenes parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. órdenes totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. Buenos órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5 6 Índice general 3.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4. Ordinales 71 4.1. Clases transitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. La clase Ord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3. Primeras propiedades de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Ordenación usual de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5. Tipo ordinal de un conjunto b.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5. El conjunto de los números naturales 87 5.1. Ordinales sucesores, límites y finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2. Propiedades de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6. Teoremas de inducción y de recursión 111 6.1. Teoremas de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2. Teoremas de recursión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7. Aritmética Ordinal 129 7.1. Funciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2. Existencia y unicidad de las operaciones usuales con ordinales . . . . . . . 130 7.3. Propiedades de la suma de ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.4. Propiedades del producto de ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.5. Propiedades de la exponenciación ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Índice general 8. El axioma de elección 7 183 8.1. El axioma de elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2. El lema de Zorn y el axioma de Zermelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9. Conjuntos finitos, infinitos y numerables 197 9.1. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.2. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.3. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10. Cardinales 221 10.1. El axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10.2. Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.3. Ordenación de los cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.4. Ordenación de los cardinales bien ordenables . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.5. La función aleph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 11. Aritmética Cardinal 245 11.1. Suma, producto y exponenciación cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11.2. Aritmética cardinal en In . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.3. Aritmética cardinal infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11.4. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 12. Exponenciación cardinal 275 12.1. Cofinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.2. Cardinales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 12.3. Aritmética infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8 Índice general 12.4. Las funciones continuo y gimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 12.5. Exponenciación cardinal con la hipótesis generalizada del continuo . . . . 278 12.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 12.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Bibliografía 293 Introducción histórica A diferencia de otras áreas de las Matemáticas, la Teoría de Conjuntos ha sido obra, básicamente, de una persona: el matemático alemán G. Cantor. 1. Antecedentes de la Teoría de Conjuntos. Durante los siglos XVII y XVIII se produjo una creciente generalización de conceptos en Matemáticas (función, infinitésimo, derivada, integral, sucesión, serie, ...) que provocaron grandes controversias, especialmente acerca del significado de los conceptos de derivada e integral introducidos por Newton, y por el uso de técnicas que, en principio, parecían contradictorias (sobre todo, aquellas que manejaban infinitésimos). No obstante, el hecho de que los resultados obtenidos a partir de estos conceptos fuesen aparentemente correctos y con el fin de analizar las causas que habían permitido obtenerlos, se produjo a principios del siglo XIX un movimiento encaminado a fundamentar las Matemáticas, como un camino indirecto para clarificar y justificar dichas nociones. En la década de 1870–1880, B. Bolzano, R. Dedekind, G. Cantor y K. Weierstrass hacen notar que para trabajar con derivadas e integrales es indispensable manejar de forma clara y precisa los conjuntos infinitos. Además llevan a cabo una tarea fundamental en el devenir de la Ciencia, en general, y de la matemática en particular: la Aritmetización del Análisis Matemático. En el proceso de aritmetización, se definen los números complejos a partir de los números reales; los números racionales a través de los números enteros y éstos a través de los números naturales. El resultado final que cierra la “cadena"se obtiene al definir los números reales a partir de los racionales (mediante sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind). De esta forma todo el Análisis Matemático queda reducido a la axiomatización de la Aritmética. Ahora bien, en el proceso antes citado, además de los números naturales juegan un papel clave conceptos tales como par ordenado, relación, clase de equivalencia, aplicación, sucesión, etc. 9 10 Índice general En este contexto R. Dedekind, G. Frege y G. Peano materializan sus preocupaciones acerca de la fundamentación de la Aritmética: Entre 1872 (“Continuidad y números irracionales") y 1888 (“¿Qué son y qué deben ser los números?"), Dedekind desarrolló su teoría de números basándola en los conceptos de conjunto y aplicación, presentó una primera definición de conjunto infinito (los primeros estudios relativos a estos conjuntos, se atribuyen a Bolzano1 ) y mostró una caracterización de los números naturales a partir de unas pocas propiedades. Frege trata de fundamentar la Aritmética2 sobre la base de una lógica formalizada a través de una escritura conceptual3 , desarrollando el concepto general de cardinal y haciendo un estudio de los cardinales finitos. Sus trabajos se caracterizan por su extraordinaria precisión y minuciosidad aunque utiliza una terminología excesivamente compleja. Entre 1894 y 1903, Peano publicó su “Formulaire de Mathmatiques.escrito en un lenguaje formalizado, y que pretendía abarcar todas las Matemáticas. Para ello, utiliza un lenguaje mucho más simple y asequible que Frege (algunas notaciones S T de Peano son usadas actualmente: ∈, ⊃, , , . . . ) y se limita a enumerar las leyes lógicas sin ánimo de estructurarlas propiamente en el marco de un sistema deductivo. Además, Peano presentó una axiomatización de la Aritmética4 , independiente aunque equivalente a la desarrollada por Dedekind. En ella, describe los axiomas a través de postulados como reglas simples o evidentes que no son susceptibles de ser demostradas. De esta forma el estudio de los números naturales y, en consecuencia, todos los conceptos del Análisis Matemático, quedan reducidos al estudio del concepto de conjunto. Durante la primera mitad del siglo XIX, las series trigonométricas y los desarrollos en series de potencias, jugaron un importante papel en el estudio de las funciones reales de una variable real. En los primeros años de la década 1870–1880, el estudio de ciertos problemas relativos a series trigonométricas, condujo nuevamente a Cantor al análisis de propiedades de ciertos conjuntos infinitos de números reales. 1 “Paradoxien des Unendlichen", ed. F. Prihonski, Leipzig, 1851. Grundlagen der Arithmetik", 1884, y “Die Grundgesetze der Arithmetik, 1893–1903. 3 “Begrisffschrift", 1879 4 “Arithmetices Principia, nova methodo exposita", 1879. 2 “Die Índice general 11 Parece ser que fue éste el germen que daría origen a la Teoría de Conjuntos que Cantor desarrollaría, inicialmente, entre 1873 y 1894. No obstante, hay que citar a Bozano, Dedekind, Frege y Peano como precursores de una teoría lógica de los números finitos e infinitos (transfinitos según la nomenclatura cantoriana). Desde la antigedad, las cuestiones acerca del infinito habían estado presente de manera constante en los trabajos y discusiones de matemáticos, científicos en general, filósofos y teólogos. En el siglo IV a. C., Aristóteles distinguió por primera vez el infinito potencial, como posibilidad de considerar procesos ad infinitum, del infinito actual que permite considerar al infinito como una entidad, como un objeto dado; aceptando la primera idea y rechazando la segunda. En el siglo XVIII, Kant considera el infinito actual como una de las ideas de la razón y, a diferencia de Aristóteles, su postura ante el mismo no es de rechazo. Las paradojas del infinito (entre las que destacamos la de Galileo, 1632, obtenida al establecer una biyección entre los números naturales pares y los números naturales) aparecen al pretender extender a conjuntos infinitos las propiedades válidas para conjuntos finitos. Bolzano, Dedekind, Frege, Peano y el propio Cantor reivindican el infinito actual con la existencia del conjunto de los números naturales. En el caso de Cantor, la cuestión llegaría mucho más lejos al desarrollar una aritmética de los números transfinitos así como una teoría del orden. A principios de 1870, E. Heine le propuso a Cantor un problema relativo a la unicidad de la representación de una función real a través de una serie trigonométrica (el propio Heine había obtenido un teorema de unicidad en el que imponía restricciones a la función real y a la serie trigonométrica). Para abordar dicho problema, en 1872 Cantor definió los números reales en términos de series convergentes de números racionales5 . Además, a principios de 1873 obtiene su primer gran descubrimiento: la numerabilidad del conjunto, Q, de los números racionales. Así Cantor había conseguido demostrar que un conjunto denso sobre una línea tenía tantos elementos como un conjunto de puntos aislados sobre una línea, el de los números naturales. A partir de aquí se preguntó, primero, si todo conjunto infinito era numerable y, en segundo lugar, cuál era la diferencia cualitativa entre el conjunto de los números racionales (denso con “huecos") y el de los números reales (continuo). 2. Los comienzos de la Teoría de Conjuntos. El 29 de noviembre de 1873, Cantor escribe a Dedekind planteándole el problema 5 “ber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen", Math. Ann., 5 (1872), 122–132. 12 Índice general de la no numerabilidad del conjunto, R, de los números reales (explicitando una idea sobre sucesiones finitas de números naturales que le inducía a pensar en una respuesta afirmativa). Dedekind le contestó indicándole que no había encontrado una respuesta satisfactoria a dicha cuestión, y, en cambio, le envió una prueba de la numerabilidad del conjunto de los números algebraicos. El 2 de diciembre de 1873, Cantor le responde a Dedekind que esa prueba era básicamente la contenida en su carta anterior. Tan convencido estaba Cantor de lo que afirmaba que en 1874 publicó dicho resultado sin tener la delicadeza de citar al propio Dedekind (lo que provocó en éste un justificado malestar, con lo que su relación con Cantor pasó por momentos muy delicados). Pocos días después, el 7 de diciembre de 1873, Cantor escribe nuevamente a Dedekind y le envía una demostración de la no numerabilidad de R, y éste le contestó rápidamente dando el visto bueno a la prueba. Seguidamente Cantor le comenta a Weierstrass los resultados obtenidos: numerabilidad del conjunto de los números algebraicos y no numerabilidad de R. Curiosamente Weierstrass le da especial relevancia al resultado menos importante, el relativo a los números algebraicos, quizás porque siempre se había negado a aceptar la existencia de números transfinitos cualitativamente distintos, desde el punto de vista de la cardinalidad. La opinión de Weierstrass influyó en Cantor hast...
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  • Winter '19
  • LUIS MORANTE

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