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SUPERFICIES
ECUACIONES DE SUPERFICIES:
La superficie más simple ya ha sido motivo de nuestro estudio y ella
es el plano . La ecuación del mismo, referido a un sistema de
coordenadas cartesiano ortogonal, es lineal en las variables x; y y z , es
decir:
Un punto P(x, y,z) ∈
π
⇔ ax+by+cz+d=0 (1)
Siempre que el vector normal al plano
π
sea de componentes (a,b,c) y
el punto de paso del plano sea P
0
(x
0
,y
0
,z
0
).
La ecuación (1) puede escribirse, generalizando de la siguiente
manera:
F(x, y, z)=0 (2)
Donde F es una función de tres variables, que en caso del plano es:
ax+by+cz+d Bajo
estas hipótesis, cualquier punto del plano P
1
(x
1
, y1, z1) deben satisfacer
tanto la
Ecuación (1) como la ecuación (2) o sea que se cumplirá :
ax
1
+by
1
+cz
1
+d=0 o lo que es lo mismo F(x
1
, y1,z1)=0
GENERALIZANDO: llamaremos ecuación de una superficie a la relación
que involucra las coordenadas de un punto genérico de la misma. Si
esta relación es de la forma F(x,y,z)=0, la superficie se podrá
caracterizar como el lugar geométrico de puntos del espacio:
S={P(x,y,z) / F(x,y,z)=0}
Para obtener la ecuación de una superficie, llamaremos (x,y,z) a las
coordenadas de un punto de la misma y las ligaremos a las condiciones
que representen que efectivamente dicho punto pertenezca a la
superficie definida.
Es posible definir una superficie dando una propiedad que es cumplida
por todos sus puntos, o también como el movimiento de una recta en el
espacio sujeto a ciertas condiciones.
EJEMPLOS :
1. Estudiaremos la superficie. S={P(x,y,z) / z
2
=9}
La ecuación de la superficie es entonces z
2
– 9 =0 ∀ x, ∀ y dicha
ecuación se puede descomponer de la siguiente manera: ( z-3).
(Z+3)=0 Luego podemos caracterizar así:

S={P(x,y,z) /( z –3).(z+3)=0}= {P(x,y,z) / z -3=0} ∪ {P(x,y,z) /
z+3=0}
Es decir la superficie S está formada por dos planos paralelos al
plano coordenado xy
2. Estudiar la superficie siguiente: S={P(x,y,z) / y
2
+
y - 6=0} . La
ecuación y
2
+
y - 6=0 tiene por raíces y
1
=2 ; y
2
=-3. Luego,
podemos escribir: y
2
+
y - 6= (y – 2).(y+3)=0 luego
S={P(x,y,z) / y
2
+
y - 6=0} ={P(x,y,z) / (y-2)=0} ∪ {P(x,y,z) /
(y+3)=0}
Es decir dos planos paralelos al plano xz .
Observación: si la ecuación igualada a cero no tiene raíces reales,
diremos que el lugar geométrico es vacío.
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON TRES VARIABLES
De considerable importancia para el desarrollo del siguiente tema es la
ecuación general de segundo grado con tres variables
En donde uno, por lo mendo es de los seis primeros coeficientes es
diferente de cero. A este tipo de ecuaciones se le llaman superficie
cuádrica.
Se demuestra en tratados avanzados que mediante una transformación
apropiada de coordenadas, se puede trasformar la ecuación de manera
que tome una de las dos formas tipo:
Las superficies como la primera ecuación tienen un centro de simetría, el
origen y por esto se llaman cuádrica con centro. Las superficies de la otra
forma no tiene centro de simetría y se llaman por lo tanto, cuádrica sin
centro.