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poly-08 - Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D’ANALYSE ET...

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Unformatted text preview: Pierre COLMEZ ÉLÉMENTS D’ANALYSE ET D’ALGÈBRE Pierre COLMEZ C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France. ÉLÉMENTS D’ANALYSE ET D’ALGÈBRE Pierre COLMEZ TABLE DES MATIÈRES Introduction ....................................................................................... 1 Notations standard. ........................................................................... 3 Bibliographie sommaire. ....................................................................... 3 Vocabulaire Mathématique ...................................................................... 5 1. Grammaire élémentaire. ....................................................................... 6 1.1. L’anneau Z des entiers relatifs. ............................................................ 7 1.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste. ............................. 9 1.3. Ensembles dénombrables. ................................................................. 9 2. Produits, sommes et quotients. ................................................................ 11 2.1. Produits et sommes. ...................................................................... 11 2.1.1. Produits et sommes directes de groupes commutatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Le cas des espaces vectoriels. ......................................................... 12 2.1.3. Produit et somme dans une catégorie. ................................................ 13 2.2. Relations d’équivalence. ................................................................... 14 2.2.1. Relations d’équivalence et partitions. ................................................. 14 2.2.2. Passage au quotient par une relation d’équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. L’anneau Z / D Z des entiers relatifs modulo D ............................................. 15 2.4. Quotients d’espaces vectoriels. ............................................................ 18 2.5. Anneaux quotients. ....................................................................... 19 2.6. Groupes quotients. ........................................................................ 20 2.6.1. Groupe opérant sur un ensemble. ..................................................... 20 2.6.2. Classes de conjugaison. ............................................................... 22 2.6.3. Quotients de groupes. ................................................................ 23 3. Groupes finis. .................................................................................. 24 3.1. Généralités sur les groupes. ............................................................... 24 vi TABLE DES MATIÈRES 3.2. Groupes cycliques. ........................................................................ 24 3.2.1. Structure des groupes cycliques, ordre d’un élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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