9-08 - AMPHI 9 THORME DES NOMBRES PREMIERS 1 La fonction...

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AMPHI 9 THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS 1
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La fonction ζ dans le plan complexe Théorème (i) ζ (s) = + n=1 n - s est holomorphe sur Re(s) > 1 . (ii) Si Re(s) > 1 , le produit Q p (1 - p - s ) - 1 est convergent et égal à ζ (s) . (iii) ζ 0 (s) (s) = - p ν 1 (log p)p - ν s . ζ ne s’annule pas sur Re(s) > 1 . Théorème ζ admet un prolongement méromorphe à C , holomorphe en dehors d’un pôle simple en s = 1 de résidu 1 . Hyp. de Riemann (1858) : ζ (s) = 0 et 0 Re(s) 1 Re(s) = 1 2 . Existence d’un prolongement = petit miracle. 2
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La conjecture d’Artin Si ρ : G Q GL d ( C ) morphisme de groupes, fonction L d’Artin L( ρ, s) = Y p 1 1 + b p , 1 p - s + ··· + b p , d p - ds , b p , d 6 = 0 sauf pour un nombre fini de p , les zéros de 1 + b p , 1 T + ··· + b p , d T d sont des racines de l’unité. Si 1 1+b p , 1 T+ ··· +b p , d T d = 1 + a(p)T + a(p 2 )T 2 + ··· , alors L( ρ, s) = a n n - s , avec a n = Q a(p r p ) si n = Q p r p . L( ρ, s) série de Dirichlet holomorphe sur Re(s) > 1 . Si d = 1 et ρ (g) = 1 pour tout g G Q , alors L( ρ, s) = ζ (s) . 3
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Conjecture (Artin 1923) si ρ est irréductible et non triviale, L( ρ, s) admet un prolongement holomorphe à C . Argument probabiliste : devrait s’arrêter à
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