1-08 - AMPHI 1 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS(1895-1905...

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Unformatted text preview: AMPHI 1 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS (1895-1905) • Ancètres : cristallographie (vers 1830) et théorème de la progression arith- métique de Dirichlet (1837, cas commutatif). • Étude simultanée de plusieurs isomorphismes d’un espace vectoriel. • Théorie des caractères = analyse de Fourier sur les groupes finis. 1 Groupe opérant sur un ensemble • G un groupe et X un ensemble. G opère sur X , si on a (g , x) 7→ g · x de G × X dans X , avec 1 · x = x et g · (g · x) = gg · x . • Si x ∈ X , l’orbite O x de x est l’ensemble { g · x , g ∈ G } . Si y = h · x ∈ O x , alors O y = { g · (h · x) , g ∈ G } = { gh · x , g ∈ G } = { g · x , g ∈ G } = O x . Les orbites forment une partition de X . • Le stabilisateur G x de x est le sous-groupe des g ∈ G vérifiant g · x = x . • Si V est un espace vectoriel sur K , le groupe GL (V) des g : V → V linéaires bijectives opère sur V (par g · v = g(v) ). • S n opère sur { 1 , . . . , n } , stabilisateur de i , 1 ≤ i ≤ n , isomorphe à S n- 1 . 2 • D 4 groupe des symétries du carré. • Si H ⊂ G est un sous-groupe, G / H = { xH , x ∈ G } est l’ ensemble des classes à droite modulo H . G opère sur G / H par g · xH = gxH . • Si G fini, | G | = | H | · | G / H | ( ⇒ Lagrange). • Si G opère sur X et x ∈ X , alors G / G x → O x définie par gG x 7→ g · x est une bijection . Si G fini, | G | = | O x | · | G x | ....
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