3-08 - AMPHI 3 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS (FIN)...

Info iconThis preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: AMPHI 3 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS (FIN) INTÉGRALE DE LEBESGUE 1 Produit tensoriel de représentations • V 1 de base (e 1 ,..., e n ) et V 2 de base (f 1 ,..., f m ) . On définit V 1 ⊗ V 2 de base g i , j = e i ⊗ f j , pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m et x ⊗ y ∈ V 1 ⊗ V 2 par n X i=1 λ i e i ⊗ m X j=1 μ j f j = n X i=1 m X j=1 λ i μ j (e i ⊗ f j ) . Lemme Si u : V 1 × V 2 → W est bilinéaire, il existe ˜u : V 1 ⊗ V 2 → W linéaire, unique, tel que ˜u(x ⊗ y) = u(x , y) , pour tous x ∈ V 1 , y ∈ V 2 . • Propriété universelle ( ⇒ Indépendance du choix des bases). • V * ⊗ V * = { formes bilinéaires sur V } ; ( λ 1 ⊗ λ 2 )(x , y) = λ 1 (x) λ 2 (y) . 2 Proposition (i) Si V 1 et V 2 sont des représentations de G , alors V 1 ⊗ V 2 aussi, avec g · (x ⊗ y) = (g · x) ⊗ (g · y) , pour tous x ∈ V 1 et y ∈ V 2 . (ii) χ V 1 ⊗ V 2 (g) = χ V 1 (g) χ V 2 (g) . • V ⊗ V se décompose : V ⊗ V = Sym 2 V ⊕ ∧ 2 V , avec Sym 2 V espace engendré par les xy = 1 2 (x ⊗ y+y ⊗ x) ( carré symétrique ), et ∧ 2 V espace engendré par les x ∧ y = x ⊗ y- y ⊗ x ( carré extérieur ). De plus χ Sym 2 V (g) = 1 2 ( χ V (g) 2 + χ V (g 2 )) χ ∧ 2 V (g) = 1 2 ( χ V (g) 2- χ V (g 2 )) ....
View Full Document

Page1 / 12

3-08 - AMPHI 3 REPRÉSENTATIONS DES GROUPES FINIS (FIN)...

This preview shows document pages 1 - 4. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online