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AMPHI 4 INTÉGRALE DE LEBESGUE (SUITE) 1
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Rappels Une fonction est mesurable si elle est limite simple p.p. d’une suite de fonctions en escalier (en pratique, toute fonction est mesurable). Si f est positive, mesurable, R f R + . Si u n 0 , alors R u n = R u n (CV monotone). f sommable si R | f | < + , et R f C . Si | f n | ≤ h et f n f p.p., avec h sommable, alors R f n R f (CV dominée). Si R | u n | < + , alors u n CV p.p. et R u n = R u n (Fubini). 2
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Espaces vectoriels normés Une norme k k : E R sur un K -espace vectoriel E , est une application vérifiant k x k = 0 ssi x = 0 , k λ x k = | λ |k x k et k x + y k ≤ k x k + k y k . Alors d(x , y) = k x - y k est une distance. u : (E , k k E ) (F , k k F ) linéaire est continue ssi il existe C tel que k u(x) k F C k x k E , pour tout x E . On pose k u k = inf { C , k u(x) k F C k x k E , x } = sup x E -{ 0 } k x k - 1 E k u(x) k F . •k k 1 et k k 2 sont équivalentes sur E si id : (E , k k 1 ) (E , k k 2 ) est continue ainsi que son inverse (ssi C - 1 k x k 1 ≤ k x k 2 C k x k 1 , x E ). 3
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Un EVN (E , k k ) complet est un espace de Banach . Il suffit de vérifier n N k x n k < + = n N x n converge dans E . Ex : C b (X) , muni de k f k = sup | f(x) | (norme de la convergence uni- forme), et C 0 ( R m ) est fermé dans C b ( R m ) , donc est complet. Théorème Si E est de dimension finie, toutes les normes sur E sont équi- valentes, E est complet et la boule unité est toujours compacte . Totalement faux en dimension infinie ; choix d’une norme dicté par le problème. Ex :
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This note was uploaded on 07/04/2009 for the course MATH mat331 taught by Professor Pierrecolmez during the Spring '09 term at École Polytechnique.

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