5-08 - AMPHI 5 TRANSFORMÉE DE FOURIER 1 Principaux...

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Unformatted text preview: AMPHI 5 TRANSFORMÉE DE FOURIER 1 Principaux résultats d’intégration • Théorème de convergence dominée • Ensembles de mesure nulle (ou négligeables ) et th. de Borel-Cantelli. • Intégration des fonctions positive et théorème de convergence monotone. • Complétude des espaces L 1 (X) et L 2 (X) , si X ⊂ R m . • X ouvert = ⇒ Esc(X) , C c (X) et C ∞ c (X) denses dans L 1 (X) et L 2 (X) . • Théorème de Fubini et formule du changement de variable. • Continuité et dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale. 2 Comparaison des différents modes de convergence X ⊂ R m , convergence de f n vers f sur X . • Convergence uniforme = ⇒ convergence simple = ⇒ convergence p.p. • Convergence p.p. + domination = ⇒ convergence dans L 1 (X) ou L 2 (X) (th. de CV dominée). • Convergence dans L 1 (X) ou L 2 (X) = ⇒ sous-suites convergeant p.p. • Convergence dans L 2 (X) = ⇒ convergence dans L 1 (X) si λ (X) < + ∞ (Cauchy-Schwarz). 3 Transformée de Fourier dans L 1 ( R m ) Cadre naturel L 2 ( R m ) ou distributions (l’an prochain)....
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This note was uploaded on 07/04/2009 for the course MATH mat331 taught by Professor Pierrecolmez during the Spring '09 term at École Polytechnique.

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