6-08 - AMPHI 6 FONCTIONS HOLOMORPHES Ω ouvert de C dans tout ce qui suit 1 Séries entières(ou formelles • L’anneau K[T = F(T = ∑ ∞ n=0 a

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Unformatted text preview: AMPHI 6 FONCTIONS HOLOMORPHES Ω ouvert de C dans tout ce qui suit. 1 Séries entières (ou formelles) • L’anneau K[[T]] = { F(T) = ∑ + ∞ n=0 a n T n } . • F (T) = + ∞ X n=0 (n + 1)a n+1 T n , 1 k! F (k) (T) = + ∞ X n=0 n + k k a n+k T n . • K = C : rayon de convergence ρ (F) de F ∈ C [[T]] . • La fonction z 7→ F(z) , pour z ∈ D(0 , ρ (F)- ) . F(z) = + ∞ X n=0 + ∞ X k=0 n + k n a n+k z k (z- z ) n , si | z | + | z- z | < ρ (F) . • F est dérivable au sens complexe : lim z → z F(z)- F(z ) z- z = F (z ) . 2 • f est holomorphe sur Ω si, pour tout z ∈ Ω , il existe F z ∈ C [[T]] de rayon de convergence r > , tel que f(z) = F z (z- z ) , si | z- z | < r . • Un polynôme ou exp( λ z) , pour λ ∈ C sont holomorphes sur C . • Produit et somme de deux fonctions holomorphes sont holomorphes. * (FG)(z) = F(z)G(z) et (F + G)(z) = F(z) + G(z) , si | z | < ρ (F) , ρ (G) . • f holomorphe et ne s’annulant pas ⇒ 1 / f holomorphe. • la composée de deux fonctions holomorphes et l’inverse d’une bijection holomorphe sont holomorphes. 3 Premières propriétés • ordre du zéro v z (f) ∈ N ∪ { + ∞} d’une fonction holomorphe : si f(z- z ) = ∑ + ∞ n=0 a n (z- z ) n , alors v z (f) = inf { n , a n 6 = 0 } ....
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This note was uploaded on 07/04/2009 for the course MATH mat331 taught by Professor Pierrecolmez during the Spring '09 term at École Polytechnique.

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6-08 - AMPHI 6 FONCTIONS HOLOMORPHES Ω ouvert de C dans tout ce qui suit 1 Séries entières(ou formelles • L’anneau K[T = F(T = ∑ ∞ n=0 a

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