7-08 - AMPHI 7 FORMULES DE CAUCHY ET DES RESIDUS ouvert de...

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AMPHI 7 FORMULES DE CAUCHY ET DES RESIDUS Ω ouvert de C dans tout ce qui suit. 1
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Coupures dans le plan complexe et logarithme z e z est biholomorphe de { z , α < Im(z) < α + 2 π } sur C - R + e i α . log α : C - R + e i α → { z , α < Im(z) < α + 2 π } une détermination du logarithme : log z = log | z | + i arg α z . log - π : C - R - → { z , - π < Im(z) < π } : détermination principale du logarithme . log - π z = + n=1 ( - 1) n - 1 n (z - 1) n sur D(1 , 1 - ) . On écrit simplement log z , et sa dérivée est 1 / z , mais log est multivaluée . 2
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Ω C est contractile (homotope à un point) s’il existe u : [0 , 1] × Ω Ω continue, avec u(0 , z) = z et u(1 , z) = z 0 . contractile connexe par arcs ; étoilé contractile. C privé d’une demi-droite est étoilé ; C - { z 0 } non contractile. Un lacet dans Ω est un chemin ( C 1 par morceaux) fermé : γ : [0 , 1] Ω , avec γ (0) = γ (1) , ou γ : R / Z Ω , ou γ : S 1 Ω . 2 lacets γ 0 , γ 1 sont homotopes , s’il existe u : [0 , 1] × [0 , 1] Ω , continue, avec u(0 , t) = γ 0 (t) , u(1 , t) = γ 1 (t) , et u(s , 0) = u(s , 1) , si s [0 , 1] . 3
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This note was uploaded on 07/04/2009 for the course MATH mat331 taught by Professor Pierrecolmez during the Spring '09 term at École Polytechnique.

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