8-08 - AMPHI 8 SRIES DE DIRICHLET ET FONCTION ZETA DE...

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AMPHI 8 SÉRIES DE DIRICHLET ET FONCTION ZETA DE RIEMANN Principe du maximum, zéros isolés, unicité du prolongement analytique. Inégalités de Cauchy et convergence de la série de Taylor dans un disque d’holomorphie maximal. Construction de fonctions holomorphes (séries, produits et intégrales). Multivaluation du logarithme. Formule des résidus (contient la formule de Cauchy et l’invariance par homotopie de l’intégrale sur un lacet). 1
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L( a , s) = + n=1 a n n - s , s variable complexe, a = (a n ) n 1 , a n C . CV quelque part a n = O(n c ) . Abscisse de CV absolue σ abs . Théorème L( a , s) est holomorphe sur Re(s) > σ abs . L (k) ( a , s) = + n=1 a n ( - log n) k n - s , si Re(s) > σ abs . Théorème (Landau) Si a n 0 , pour tout n , alors L( a , s) ne peut se pro- longer analytiquement dans aucun voisinage de σ = σ abs . * holomorphe sur D( σ, 3 ε - ) = L( a , σ - ε ) = + X k=0 L (k) ( a , σ + ε ) ( - 2 ε ) k k! . 2
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This note was uploaded on 07/04/2009 for the course MATH mat331 taught by Professor Pierrecolmez during the Spring '09 term at École Polytechnique.

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