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Primer parcial 2008 - P Ψ tan peque˜na como se desee Si...

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Mec´anica Cu´antica II Primer parcial 1. A partir de la ecuaci´on de Schr¨ odinger tridimensional demostrar que a ) Existe una corriente de probabilidad vinculada a una conservaci´ on, de la forma ~ J ( ~ r , t ) = - i ¯ h 2 m * Ψ - Ψ Ψ * ) e indicar cu´al es la cantidad conservada b ) Demostrar que si Ψ es un estado estacionario se cumple Im ( Ψ * 2 Ψ ) = 0 c ) Es v´alida la afirmaci´on rec´ ıproca dada en b )? 2. Demostrar que si un ensamble de part´ ıculas se encuentra caracterizado por el estado ψ j,m (autoestado de Jz ) entonces Δ 2 J x Δ 2 J y ¯ h 4 m 2 4 (Recordar que J ± ψ j,m = ¯ h p ( j m )( j ± m + 1) ψ j,m ± 1 ). 3. Una part´ ıcula que se mueven en una dimensi´on y est´a representada por la funci´on de onda Φ( x ) = A (1 + cos( πx a )) x [ - a, a ] 0 x 6∈ [ - a, a ] a ) Encontrar A de forma tal que Φ( x ) est´ e normalizada. b ) Verificar que Δ X Δ P ¯ h 2 c ) Encontrar el potencial V ( x ) para el cual la funci´on de onda es un autoestado de energ´ ıa E . d ) Suponga que Ψ es alg´un estado de un ensamble de part´ ıculas sometidas al potencial del inciso c ). Puede ser la cantidad Δ
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Unformatted text preview: P Ψ tan peque˜na como se desee? Si su respuesta es afirmativa dar un ejemplo. En caso contrario dar una cota inferior. 4. Consideremos un oscilador arm´onico cu´antico de masa m y frecuencia angular ω . En el instante t = 0 el estado del sistema est´a representado por Φ(0) = ∞ X n =0 c n ψ n , donde ψ n son los estados estacionarios del oscilador, correspondientes a energ´ ıas E n = ¯ hω ( n + 1 2 ). a ) ¿Cu´al es la probabilidad P de que una medici´on de la energ´ ıa, realizada en un tiempo arbitrario t > d´ e como resultado E > m ¯ hω ?. , m ∈ N ( P = P ( c n ,m )) b ) Cuando P = 0 ¿Pueden conocerse exactamente algunos coeficientes? Indicar cu´ales son y cu´al es su valor. c ) Si m = 0 ¿Puede ser P = 0? Justificar. d ) Calcular el valor de los coeficientes c n ( t ) y el valor de la energ´ ıa del sistema cuando m = 1 y P = 0. 1...
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