Cadenas de Markov

0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 0

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Unformatted text preview: 1 con probabilidad 1. Los n´meros a y b son enteros positivos dados. u Se propone calcular el vector de probabilidades l´mite, si existe. ı La primera observaci´n que podemos hacer es que X0 es par, X1 es impar, y, en o general, Xn tiene la paridad de n y como consecuencia las probabilidades no pueden ( n) tener l´ ımite, ya que, para cada n de distinta paridad que i, πi es cero. Si existiera ( n) el l´ ımite limn→∞ πi deber´ ser cero, pero esto no es posible, porque hay un n´mero ıa u finito de estados y sus probabilidades para cada n suman 1. Esta observaci´n responde por la negativa a la cuesti´n planteada. Sin embargo, o o parece natural plantearse peque˜as variantes, por ejemplo, si es posible modificar n ligeramente la cadena de manera que las probabilidades tengan l´ ımite, o si es posible pasar al l´ ımite en la cadena que se obtiene observando exclusivamente los valores de Xn para n par, o para n impar, por separado. En el primer caso, supongamos que la matriz de probabilidades de transici´n, en vez o de 0 1 0 0 ... 0 0 0 q 0 p 0 ... 0 0 0 0 q 0 p ... 0 0 0 0 q 0 ... 0 0 0 P = 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... q 0 p 0 0 0 0 ... 0 1 0 es q+r p 0 0 ... 0 0 0 q r p 0 ... 0 0 0 0 q r p ... 0 0 0 , P = (1.3) ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... q r p 0 0 0 0 ... 0 q r+p con q + r + p = 1. Al menos cuando r es peque˜o, las dos matrices son muy parecidas, pero basta n que r sea positivo para que existan caminos de longitud max{a, b}, por ejemplo, de probabilidad positiva, que unen cualquier estado con el 0. El Teorema 1.5.1 es aplicable, como consecuencia, y las probabilidades l´ ımite π ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = (π−a , π−a+1 , . . . , πb−1 , πb ) son soluciones del sistema de ecuaciones: π−a (q + r) + π−a+1 q πi−1 p + πi r + πi+1 q πb−1 p + πb (r + p) = π−a , = πi (i = −a + 1, −a + 2, . . . , b − 1), = πb . 12 Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 1 Cadenas de Markov. La ecuaciones extremas nos dan π−a+1 = (p/q )π−a , πb−1 = (q/p)πb , mientras que las ecuaciones centrales se pueden escribir en la forma pπi−1 − (p + q )πi + qπi+1 = 0, ıces de con soluciones πi = C1 mi + C2 mi (i = −a . . . , b), donde m1 y m2 son las ra´ 1 2 p − (p + q )m + qm2 = 0, es decir, m1 = p/q, m2 = 1. Estas son todas las soluciones, cuando p = q . Reemplazando estas expresiones en las dos...
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