Cadenas de Markov

esto implica que necesariamente se alcanza sh 1

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Unformatted text preview: lo si a o o cada estado i corresponde un n´mero Mi tal que si n ≥ Mi , entonces existe u una trayectoria de probabilidad positiva que conduce de i a i en n pasos. Demostraci´n. La condici´n es suficiente: Si la clase fuera peri´dica de o o o per´ ıodo a, y n no es m´ltiplo de a, entonces no existe ninguna trayectoria de u probabilidad positiva que lleve de i a i en n pasos. Esto contradice la hip´tesis. o La condici´n es necesaria: Suponemos ahora que la clase es aperi´dica. o o (n) Llamemos K = {n : Pi,i > 0}. Dado que la yuxtaposici´n de excursiones o de i a i con probabilidad positiva es tambi´n una excursi´n de probabilidad e o positiva, entonces K + K ⊂ K , y como consecuencia, si k1 , k2 , . . . kh ∈ K , para cualquier h, entonces h=1 kj ∈ K . j Si m = min K = 1, cualquier entero positivo est´ en K , y entonces Mi = 1. a u o Si m > 1, elegimos k1 = m, k0 ∈ K , k0 no m´ltiplo de m. La divisi´n entera k0 = q1 k1 + r1 , r1 < k1 nos da un resto r1 con la propiedad de que los divisores de k0 , k1 son los de k1 , r1 . Adem´s, r1 es combinaci´n lineal de k0 , k1 . a o Introducci´n a la probabilidad. o 2.2. Cadenas numerables. 21 Dividimos k1 = q2 r1 + r2 , y esto nos da r2 < r1 , combinaci´n lineal de o k1 , r1 y por lo tanto de k0 , k1 . Si r2 = 0, r1 es el M.c.d. de k0 , k1 . Si r2 = 0, dividimos r1 = q3 r2 + r3 y nuevamente distinguimos dos casos: si r3 < r2 fuese 0, r2 es el M.c.d de k0 y k1 . En caso contrario, continuamos el procedimiento. Como cada resto es menor estrictamente que el anterior, necesariamente debe aparecer un resto nulo, supongamos que es rh+1 . En ese caso, rh = M.c.d.(k0 , k1 ), lo llamaremos s1 , y adem´s s1 es combinaci´n lineal de k0 y k1 . a o Si s1 no es 1, hay alg´n otro elemento de K que no es m´ltiplo de s1 , digamos, u u k2 . Aplicamos a k2 , s1 el mismo procedimiento que a k0 , k1 , con lo que obtendremos un ultimo resto no nulo s2 que es combinaci´n lineal de s1 y k2 , y por ´ o lo tanto...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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