Cadenas de Markov

sii pii 1 0 aplicamos la igualdad de los extremos

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Unformatted text preview: i (n) e N´meros, limn→∞ Ti i /Ni = mi y tambi´n limn→∞ Ti u mi . Al pasar al l´ ımite en las desigualdades (n) (N i Ti (n) ) (n) Ni ≤ n (n) Ni (Ni < Ti (n) Ni +1) +1 (n) Ni +1) (n) /(Ni + 1) = +1 (n) Ni (n) (n) que se obtienen de la definici´n de Ni , resulta limn→∞ n/Ni = mi o 2 (n) Paso 2.2. Si mi = ∞, entonces Pi,i → 0. (n) ımite superior de la sucesi´n Pi,i . Existe entonces una o Llamamos li al l´ (n ) sucesi´n nj estrictamente creciente para la cual limj →∞ Pi,i j = li . Dado ε, la o (n) recurrencia nos permite encontrar jε tal que ∞ njε fi,i < ε. n= (n ) (k ) n −k ) + Entonces, para todo k , Pi,i j ≤ fi,i Pi,ij Por lo tanto, para j suficientemente grande, (nj ) li − ε ≤ Pi (k ) (n − k ) ≤ fi,i Pi,i j ν ≤njε ,ν =k (n − ν ) (ν ) fi,i Pi,i j +ε (k ) + (1 − fi,i )(li + ε) + ε y entonces (k ) li − ε − (1 − fi,i )(li + ε) − ε (k ) fi,i (n − k ) (k ) = li − ε(1 − 3ε/fi,i ) ≤ Pi,i j . Pasamos al l´ ımite cuando ε ↓ 0 en las desigualdades (n − k ) (k ) li − ε(1 − 3ε/fi,i ) ≤ lim inf Pi,i j j →∞ (k ) (n − k ) ≤ lim sup Pi,i j j →∞ (n − k ) ≤ li y encontramos que para todo k con fi,i > 0, limj →∞ Pi,i j = li . El mismo razonamiento puede repetirse a partir de la sucesi´n nj − k para o (nj −k−k ) (k ) concluir que tambi´n limj →∞ Pi,i e = li si fi,i > 0. Como consecuencia, para todo n´mero k suma de elementos de K0 = {h : u (n − k ) (h ) = li . fi,i > 0}, se cumple limj →∞ Pi,i j Las sumas de elementos de K0 son los elementos de K , de modo que cualquier n´mero mayor o igual que Mi cumple la propiedad, es decir, para u (n − M − ν ) = li . todo ν ≥ 0, limj →∞ Pi,i j i (m) (n) Introducimos ahora la notaci´n Si = ∞ m fi,i = P{Ti ≥ m}. Por una o n= (m) parte, tenemos que ETi = ∞=1 Si = ∞. Por otra parte, si reemplazamos m Introducci´n a la probabilidad. o 2.2. Cadenas numerables. (n) fi,i por (n) Si,i − (n+1) Si,i en la identidad n (ν +1) (n−ν ) Si,i Pi...
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