Cadenas de Markov

n y cada sumando es la probabilidad de cada uno de

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Unformatted text preview: } ∞ es infinita para todo j , y en ese caso πj = 0 para todo j , o bien (b) la esperanza del tiempo de llegada o retorno Tj = min{n ≥ 1 : Xn = j } es ∞ finita para todo j , y en ese caso el vector π ∞ = (πh )h∈E es un vector de ∞ ∞ probabilidades estacionarias: π P = π . El valor de cada componente ∞ de π ∞ es πj = (ETj )−1 . ∞ Con la convenci´n (ETj )−1 = 0 cuando ETj = ∞, la expresi´n πj = o o (ETj )−1 vale para ambas alternativas. Notaci´n: Si 1 es el vector columna de componentes todas iguales a 1, o entonces limn→∞ P n = 1π ∞ . Introducci´n a la probabilidad. o 2.2. Cadenas numerables. 2.2.1 19 Significado de las hip´tesis del enunciado. o Definici´n 2.2.1 Los estados i, j de una cadena con probabilidades de trano (n ) sici´n ((Pi,j )) son equivalentes, cuando existen ni,j ≥ 0 tal que Pi,j i,j > 0 (y o (n ) en este caso se dice que i precede a j ), y nj,i tal que Pj,i j,i > 0 (tambi´n j e precede a i). Nota: La relaci´n de la definici´n precedente es en efecto una relaci´n o o o de equivalencia, como es inmediato verificar (Ejercicio 2.3.1), de modo que clasifica a los estados de una cadena en clases de equivalencia. Dos estados est´n en la misma clase cuando la probabilidad de que el sistema pase de a cualquiera de ellos al otro es positiva. Notaci´n: Cuando i precede a j , lo denotaremos i ; j . o Definici´n 2.2.2 El estado i de la cadena con probabilidades de transici´n o o (n) ((Pi,j )) es recurrente cuando n Pi,i = ∞. (n) Para interpretar esta definici´n, llamemos fi,j a la probabilidad de que la o cadena pase de i a j por primera vez en n pasos: (n) fi,j = P{Xn = j, Xh = j, h = 1, 2, . . . , n − 1|X0 = i}. La probabilidad de que la cadena alcance el estado j cuando parte de i es (n) ˜ entonces Fi,j = ∞ fi,j . Por otra parte, n=1 (n) n Pi,j = (m) (n−m) fi,j Pj,j , (2.1) m=1 ya que el suceso {X0 = i, Xn = j } es la uni´n disjunta de los sucesos {X0 = o i, X = j para 0 < < m...
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