Cadenas de Markov

2 si mi entonces pii 0 n mite superior de la sucesin

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Unformatted text preview: de k0 , k1 , k2 . Si s2 = 1, damos esta etapa por terminada, y si no, repetimos el mismo procedimiento a partir de k3 , s2 , donde k3 ∈ K , no m´ltiplo de s2 . u Cada nuevo resto es estrictamente menor que el anterior (k1 > s1 > s2 > . . .). Esto implica que necesariamente se alcanza sh = 1, combinaci´n lineal o de k0 , k1 , . . . , kh . Llamemos al a los coeficientes: 1 = h=0 al kl . l Introducimos Mi = (m − 1)(maxl |al |) l kl . Escribimos cualquier n´mero u n > Mi en la forma n = M + qm + r, donde r(< m) es el resto de la divisi´n o entera de n − M entre m. Entonces n = (m − 1)(maxl |al |) l kl + qk1 + r l al kl , y encontramos que esta ultima combinaci´n lineal de los elementos k0 , . . . , kh ´ o de K tiene todos los coeficientes no negativos. 2 2.2.2 Demostraci´n del Teorema 2.2.1. o Vamos a demostrar por separado el teorema seg´n el tiempo Ti,i de retorno al u estado i tenga esperanza ETi,i = mi finita o infinita. Estableceremos varios resultados intermedios, a partir de los cuales obtendremos finalmente la demostraci´n. o (n) Paso 1. Llamemos Ni = n=1 1{Xh =i} al n´mero de veces que la cadena u h (n) est´ en i entre los instantes 1 y n. Se cumple limn→∞ Ni = ∞ c.s. a (n) Si as´ no ocurriese, con probabilidad positiva ser´ limn→∞ Ni = M , para ı ıa alg´n M , y habr´ una trayectoria que pasar´ por ultima vez por i luego de u ıa ıa ´ haber pasado antes otras M − 1 veces, con probabilidad positiva. Esto implica una contradicci´n, porque la probabilidad de retornar a i es 1. o 2 (n) Paso 2.1. Cuando mi < ∞, limn→∞ Ni /n = 1/mi . (k ) Vamos a llamar Ti al tiempo en que la cadena llega a i por k -´sima vez. e (k ) (k−1) que corresponden a las duraciones de las Las variables aleatorias Ti − Ti excursiones de i a i a partir de k = 2 (y tambi´n para k = 1 cuando X0 = i), e 22 Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 2: Convergencia de probabilidades en una C. de M. son independientes, con esperanza mi , de modo que, por la Ley de los Grandes (N (n) ) (n) (N...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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