Cadenas de Markov

51 es un caso particular que se reere a una cadena

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Unformatted text preview: los resultados de los c´lculos realizados a partir de la aplicaci´n ı a o del Teorema de Convergencia de Probabilidades. Introducci´n a la probabilidad. o 1.5. Teorema de convergencia de probabilidades. 1.5 9 Teorema de convergencia de probabilidades en una cadena de Markov finita. Teorema 1.5.1 Cuando existe una potencia de la matriz P de probabilidades de transici´n de una cadena de Markov finita que tiene una columna de eleo mentos estrictamente positivos, existe el l´mite de P n y es de la forma 1π ∞ , ı donde 1 designa un vector columna cuyas componentes son todas iguales a 1. o o El vector fila π ∞ es soluci´n de la ecuaci´n π ∞ P = π ∞ . M´s adelante enunciaremos un teorema de convergencia de probabilidades a en una Cadena de Markov, del que el Teorema 1.5.1 es un caso particular, que se refiere a una cadena cuyo conjunto de estados puede ser infinito. Por el momento, vamos a adelantar una demostraci´n que se basa fuerteo mente en la finitud del n´mero de estados. u Demostraci´n del Teorema. El conjunto de los valores posibles del vector o π (0) es el simplejo S = {π : π ≥ 0, π 1 = 1} (donde la desigualdad se interpreta componente a componente), formado por las combinaciones convexas de los vectores fila etr , . . ., etr de la base can´nica. o 1 k Su imagen SP = {πP : π ∈ S } est´ contenida en S , y es el conjunto de a las combinaciones convexas de las im´genes por P de los vectores de la base a can´nica, es decir, de las filas de P . La inclusi´n SP ⊂ S es inmediata porque o o P tiene componentes no negativas y P 1 = 1. De SP ⊂ S deducimos aplicando nuevamente P que SP 2 ⊂ SP , y por extensi´n de este razonamiento encontramos que la sucesi´n SP n de subcono o juntos de S es decreciente por inclusi´n, y tiene por lo tanto un l´ o ımite A ⊂ S que es no vac´ porque las sucesivas im´genes por cada nueva aplicaci´n de P ıo a o son conjuntos cerrados. Notemos por otra parte que estos conjuntos tambi´n e son convexos, mas precisamente, son envolventes convexa...
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