Cadenas de Markov

Adems ocurre una de estas dos alternativas a a la

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Unformatted text preview: mas opee o raciones en el caso finito. Aunque no sean formalmente correctas, utilizaremos a menudo las notaciones ((Pi,j )) en vez de P·,· y (xj ) o (πi ) para los vectores (x· ), (π· ). Una vez reservados los nombres i y j para los ´ ındices de fila y columna de la matriz, la utilizaci´n de la i en (πi ) indica que se trata de un vector fila, y la de la j en o (xj ) indica que es un vector columna. Podemos dentro de este contexto reescribir la Definici´n 1.2.1: o Definici´n 1.2.1, versi´n numerable. Llamamos cadena de Markov con o o espacio de estados E = {Ei : i = 1, 2, . . . , n, . . .} y matriz (infinita) de probabilidades de transici´n o P = (Pi,j : i, j ∈ N) 17 18 Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 2: Convergencia de probabilidades en una C. de M. a cualquier sucesi´n de variables aleatorias X0 , X1 , . . . , Xn , . . . que cumpla o (1.1) para cualquier n y cualquier sucesi´n de estados (Eih )h=0,1,2,... . o Como en el caso finito, si 1 es el vector columna de componentes todas iguales a 1, entonces P 1 = 1. El vector π (n) = (P{Xn = Ei } : i ∈ N) se calcula mediante la f´rmula formalmente id´ntica a la del caso finito o e π (n) = πP n . Notaci´n: En lo sucesivo, para abreviar, supondremos a menudo que los o estados de una cadena son Ei = i, es decir, identificaremos cada estado con su ´ ındice. 2.2 Teorema de convergencia de probabilidades en una cadena de Markov numerable. El siguiente enunciado contiene varios t´rminos cuyas definiciones se indican e luego del mismo: Teorema 2.2.1 (Teorema de convergencia de probabilidades.) Si (Xn )n=1,2,... es una cadena de Markov con probabilidades de transici´n P = ((Pi,j )) y espao cio de estados E (finito o numerable) que forman una unica clase de equiva´ (n) ∞ lencia, recurrente, aperi´dica, entonces existe el l´ o ımite limn→∞ Pi,j = πj , que no depende de i. Adem´s, ocurre una de estas dos alternativas: a (a) la esperanza del tiempo de llegada o retorno Tj = min{n ≥ 1 : Xn = j...
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