Cadenas de Markov

Cabaa n cap tulo 1 cadenas de markov hiperplano

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Unformatted text preview: s de a lo sumo k puntos (puede alcanzar con menos), de modo que tambi´n lo es A. El conjunto A e n es invariante bajo P , ya que A = limn→∞ SP = (limn→∞ SP n−1 )P = AP . u La hip´tesis del Teorema expresa que para alg´n n0 y alg´n j0 , todos los o u n0 elementos de la columna j0 de P son positivos. De all´ resulta que SP n0 ı est´ estrictamente contenido en S . M´s a´n, s´lo puede tener en com´n con a au o u el borde de S el punto ej0 . Si B es un conjunto de la variedad lineal (k − 1dimensional, se trata de un hiperplano) generada por S , el ´rea (o volumen a k − 1-dimensional) de BP es igual al area de B multiplicada por | det P | (ver ´ Ejercicio 1.5.1) y la inclusi´n estricta de SP n0 en S implica | det P | < 1, de o manera que el area de A es necesariamente cero. Por tratarse de la envolvente ´ convexa de un n´mero finito de puntos, debe tener interior vac´ relativo al u ıo 10 Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 1 Cadenas de Markov. hiperplano generado por S , y necesariamente genera una variedad de dimensi´n o menor que k − 1. Para terminar la demostraci´n del Teorema basta verificar que A contiene o un unico punto, que es el l´ ´ ımite de las probabilidades π (n) cuando n tiende a ∞, cualquiera sea π (0) . Si A no fuera un punto, llamemos V a la variedad que genera, contenida estrictamente en el hiperplano que genera S . La intersecci´n de V con S o es necesariamente llevada al cabo de n0 aplicaciones de P en un subconjunto estricto de V ∩ S (verificar que esta es tambi´n una consecuencia de la hip´tesis e o de que la columna correspondiente a j0 de P n0 es positiva) y una repetici´n del o argumento originalmente aplicado a las sucesivas im´genes de S para concluir a que A tiene ´rea 0, lleva ahora a concluir que el l´ a ımite de las sucesivas im´genes a de V ∩ S tiene volumen dimV -dimensional nulo, y esto es una contradicci´n o n porque lim(V ∩ S )P ⊃ A, a menos que A se reduzca a un punto. 2 Ejercicio 1.5.1 (a) Mostrar que el volumen del paralelep´ ıpedo de Rk de lados u1 , u2 , . . . , uk es | det U |, donde U es la m...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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