Cadenas de Markov

Cada una de las matrices de las restricciones es muy

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Unformatted text preview: primeras ecuaciones, obtenemos: C1 (p/q )−a+1 + C2 = C1 (p/q )−a+1 + (p/q )C2 , C1 (p/q )b−1 + C2 = C1 (p/q )b−1 + (p/q )−1 C2 . Cada una de estas dos expresiones implica C2 = 0 y ambas dejan C1 indeterminada. ∞ Concluimos entonces que πi = C1 (p/q )i , y el valor de C1 se obtiene imponiendo que b la suma de las probabilidades C1 i=−a (p/q )i valga 1. Es interesante observar que las probabilidades l´ ımite no dependen de r. Consideremos ahora las observaciones de la cadena original, con r = 0, para tiempos pares: X0 , X2 , X4 , . . .. Las probabilidades de transici´n para esta cadena son o q 0 p 0 0 ... 0 0 0 0 q + pq 0 0 0 p2 0 . . . 0 2 q 0 2pq 0 p2 . . . 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... . P2 = ... 0 0 0 0 0 . . . 2pq 0 p2 0 0 0 0 0 . . . 0 pq + p 0 0 0 0 0 0 ... q 0 p Los estados de ´ ındice par, por una parte, y los de ´ ındice impar por otra, constituyen dos clases de equivalencia que no se comunican entre si, de modo que pueden estudiarse separadamente la restricci´n de la cadena a los estados pares, correspondiente a o vectores de probabilidades iniciales que atribuyen probabilidad cero a todos los estados impares, y la restricci´n complementaria, que corresponde a poner probabilidades o iniciales nulas a los estados pares. Cada una de las matrices de las restricciones es muy similar a (1.3), y las probabilidades l´ ımite se obtienen de la misma manera. Dejamos como ejercicio completar los detalles de estos casos, y estudiar el caso p = q , excluido en el tratamiento que precede. 2 Ejercicio 1.5.2 (a) Mostrar que el conjunto de las soluciones del sistema de ecuaciones απi+1 + βπi + γπi−1 = 0; (i = −a, −a + 1, . . . , b, α, γ = 0) es un subespacio vectorial de Rb−a+1 , es decir que, si llamamos π = (π−a , . . . , πb ),π = (π−a , . . . , πb ) a dos soluciones, entonces Aπ + Bπ es tambi´n soluci´n para e o cualesquiera A y B . Introducci´n a la probabilidad. o 1.6. Un ejemplo. 13 (b) Observar, despejando sucesivamente π−a+2 , π−a+3 , . . . que existe una unica ´ soluci´n π que cumple π−a = 1, π−a+1 = 0, y...
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