Cadenas de Markov

Demostracin la condicin es suciente si la clase fuera

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Unformatted text preview: , Xm = j, Xn = j }, (m = 1, 2, . . . , n) y cada sumando es la probabilidad de cada uno de esos sucesos. (n) Sumando (2.1) en n e introduciendo la notaci´n Pi,j = ∞ Pi,j , encono˜ n=1 (n) (m) (n−m) (m) (n−m) n ∞ ˜ = ∞=1 fi,j tramos Pi,j = ∞ Pi,j = ∞ n=1 n=1 m=1 fi,j Pj,j m n=m Pj,j ˜ ˜ = Fi,j (1 + Pj,j ). Poniendo j = i, se deduce en particular que la recurrencia de i implica ˜i,i = 1. Interesa notar que Fi,i = P{Xn = i para alg´n n|X0 = i}. F u Rec´ ıprocamente, podemos despejar ˜ Pi,i = ˜ Fi,i ˜ 1 − Fi,i 20 Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 2: Convergencia de probabilidades en una C. de M. u y deducir que la condici´n P{Xn = i para alg´n n|X0 = i} = 1 equivale a la o recurrencia de i. En otras palabras, i no es recurrente (y en ese caso se llama transitorio) cuando la probabilidad de retornar es menor que 1. Los c´lculos que preceden muestran que vale el enunciado siguiente: a ˜ Lema 2.2.1 El estado i es recurrente (Pi,i = ∞) si y s´lo si la probabilidad o de retorno Fi,i es 1. El siguiente lema muestra que la recurrencia es una propiedad de las clases de equivalencia: Lema 2.2.2 Cuando una clase de equivalencia tiene un estado recurrente, todos los estados de la clase son recurrentes. Demostraci´n. Si i es recurrente y j es equivalente a i, entonces existen m1 o (m ) (m ) (m +n+m2 ) (m ) (n) (m ) y m2 tales que Pj,i 1 > 0, Pi,j 2 > 0, y entonces Pj,j 1 ≥ Pj,i 1 Pi,i Pi,j 2 , (n) (m +n+m2 ) (m ) (n) (m ) ≥ Pj,i 1 ∞ Pi,i Pi,j 2 = ∞. 2 lo que implica ∞ Pj,j ≥ ∞ Pj,j 1 n=1 n=1 n=1 Definici´n 2.2.3 El estado i de la cadena con probabilidades de transici´n o o (n) o a u ((Pi,j )) es aperi´dico cuando el m´ximo com´n divisor del conjunto {n : Pi,i > 0} es 1, es decir, cuando no existe ning´n entero k > 1 tal que el sistema (con u probabilidad uno) s´lo pueda retornar a i al cabo de un n´mero de pasos que o u es m´ltiplo de k . u Lema 2.2.3 Una clase de equivalencia recurrente es aperi´dica, si y s...
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