Cadenas de Markov

Las primeras cuatro ecuaciones del sistema escritas

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Unformatted text preview: robabilidades. Nota: Al modelo del ejercicio precedente se la llama Dog-Flea Model, porque suele presentarse reemplazando los individuos por pulgas y los compartimientos por perros. Tambi´n puede pensarse que los compartimientos son dos recipientes cerrados e intercomunicados por un peque˜o orificio circular, dentro de los cuales se mueven n esferas el´sticas que rebotan en las paredes, con di´metro ligeramente menor que el a a del orificio. En los instantes 1, 2, 3 . . ., una de las esferas atraviesa el orificio. Este modelo fue propuesto por Ehrenfest, dentro del contexto de la Teor´ Cin´tica ıa e de los Gases. Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 1 Cadenas de Markov. 14 1.6 Un ejemplo: Obtenci´n de las probabilio dades de absorci´n, y de las esperanzas de o los tiempos de absorci´n a partir del Teoo rema de convergencia de probabilidades. Vamos a describir una aplicaci´n del Teorema 1.5.1 al estudio de una cadena o con estados transitorios y absorbentes. Lo haremos para el Ejemplo 1 de §1.1. Modifiquemos la cadena reemplazando las absorciones en los estados G y N por transiciones con probabilidad 1 hacia el estado I. Esto significa que cada vez que el juego termina, inmediatamente recomienza. La nueva cadena tiene una unica clase de estados recurrentes aperi´dicos, y la nueva matriz de ´ o probabilidades de transici´n es o P = 0 5/6 1/6 0 0 4/6 1/6 1/6 10 0 0 10 0 0 De acuerdo al Teorema 2.2.1, las probabilidades tienen l´ ımite π (∞) que son soluci´n del sistema de ecuaciones o π (∞) = π (∞) P, π (∞) 1 = 1. Las primeras cuatro ecuaciones del sistema, escritas con notaci´n escalar o son: (∞) πI (∞) πR (∞) πG (∞) πN (∞) (∞) = πG + πN 5 (∞) 4 (∞) = + πR π 6I 6 1 (∞) 1 (∞) = + πR π 6I 6 1 (∞) = π 6R o bien (∞) πN 1 (∞) (∞) 2 (∞) (∞) 2 1 (∞) 7 (∞) = πR , πI = πR , πG = ( − )πR = πR , 6 5 56 30 y a ellas se agrega 7 1 (∞) 2 + )πR = 1 ( +1+ 5 30 6 Introducci´n a la probabilidad. o 1.6. Un ejemplo. (∞) 15 de donde π = (12/54, 30/54, 7/54, 5/54). Cuando el juego se repite inde...
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