Cadenas de Markov

Para calcular cada componente de 2 podemos calcular

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Unformatted text preview: es, u con estado de llegada G despu´s de cada una de ellas. De la misma manera, e una vez que el sistema llega a N , queda absorbido all´ pues las transiciones ı, siguientes son obligatoriamente de N a N . Las probabilidades π (1) se obtienen de manera inmediata: dado que con certeza X0 = I = E1 , se cumple π (1) = (p1,1 , p1,2 , p1,3 , p1,4 ) = (0, 5/6, 1/6, 0). Para calcular cada componente de π (2) podemos calcular probabilidades a lo largo de cada uno de los caminos posibles que llevan de I a cada uno de los otros estados, en exactamente dos transiciones. El diagrama ayuda a enumerarlos. Hay un solo camino que lleva a R en dos pasos: I − R − R, y su probabilidad es (5/6)(4/6). Tambi´n hay un solo e camino que lleva a N , con probabilidad (5/6)(1/6), y hay dos que llevan a G: I − R − G, con igual probabilidad que el anterior, e I − G − G con probabilidad Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 1 Cadenas de Markov. 6 (1/6). Finalmente, no hay ning´n camino de longitud 2 (ni de ninguna otra u mayor que cero) que lleve a I . En resumen, π (2) = (0, (5/6)(4/6), (5/6)(1/6) + (1/6), (5/6)(1/6)) = (0, 20/36, 11/36, 5/36). El mismo resultado se encuentra aplicando 1.2, y tambi´n se obtienen por la e misma f´rmula los vectores de probabilidades correspondientes a los instantes o que siguen. 1.3.1 Partici´n en bloques de la matriz de probabilidao des de transici´n o Vamos a introducir una notaci´n que nos simplificar´ la verificaci´n de que las o a o potencias de P tienen l´ ımite. Observemos que la matriz P puede escribirse QR 0 5/6 1/6 0 en la forma P = , donde Q = ,R = ,I = 0I 0 4/6 1/6 1/6 10 00 ,0 = . 01 00 De ello resulta que las sucesivas potencias son: P2 = Q2 (I + Q)R 0 I Pn = , P3 = Q3 (I + Q + Q2 )R 0 I Qn (I + Q + Q2 + . . . + Qn−1 )R 0 I ,..., , y el l´ ımite se calcula f´cilmente cuando Qn → 0, y existe (I − Q)−1 , porque en a ese caso (I − Q)(I + Q + Q2 + . . . + Qn−1 ) = I − Qn → I, y entonces (I + Q + Q2 + . . . + Qn−1 ) → (I − Q)−1 . En nuestro caso, la verificaci´n de que I − Q es no singular es inmediata. o En cuanto al l´ ımite, basta...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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