Cadenas de Markov

A describir el fenmeno mediante una cadena de markov

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Unformatted text preview: que existe una unica soluci´n π que oˆ ˆ ˆ ´ o¯ cumple π−a = 0, π−a+1 = 1. ¯ ¯ (c) Deducir que el conjunto de todas las soluciones es {Aπ + B π : A, B ∈ R}, ˆ ¯ de manera que el subespacio de las soluciones tiene dimensi´n 2. o (d) Buscar soluciones de la forma πi = mi . Deducir que cuando la ecuaci´n o 2 + βm + γ = 0 tiene ra´ αm ıces distintas m1 , m2 , las soluciones son de la forma Ami + Bmi . 1 2 (e) Verificar que cuando la ecuaci´n αm2 +βm +γ = 0 tiene una ra´ doble m, o ız i , π = imi y sus combinaciones lineales son las soluciones del sistema. πi = m i Ejercicio 1.5.3 En la situaci´n del Ejemplo 2, con N = 3, p = .5 y q = .5, o identificar el l´ ımite π ∞ , si existe, pasando al l´ ımite en la igualdad π (n) = π (n−1) P . Ejercicio 1.5.4 Verificar que la existencia del l´ ımite en el Ejemplo 2, est´ garana tizada por el Teorema 1.5.1. Ejercicio 1.5.5 Un conjunto de M individuos (M > 0), que llamaremos 1, 2, . . ., M , est´ distribuido en dos compartimientos, que llamaremos A, B . En el instante a 0 hay X0 individuos en A (y n − X0 en B ). Inmediatamente antes de cada instante n (= 1, 2, . . .) se elige uno de los individuos al azar, con independencia de lo ocurrido anteriormente, y este individuo cambia de compartimiento, de manera que el n´mero Xn de individuos en A en el instante n es Xn−1 + 1 si el individuo elegido u inmediatamente antes de n estaba en B , y Xn−1 − 1 si estaba en A. (a) Describir el fen´meno mediante una cadena de Markov. o (n) es el vector cuyas componentes son las probabilidades P{X = k } (b) Si π n k = 0, 1, . . . , M , mostrar que no existe limn→∞ π (n) . (c) Si P es la matriz de probabilidades de transici´n de la cadena obtenida en o (a), observar que P 2 es la matriz de probabilidades de transici´n de otra cadena o cuyos estados son s´lo una parte de los de la cadena anterior. Mostrar que a esta o nueva cadena se aplica el Teorema 1.5.1, y deducir cu´nto vale el l´ a ımite del vector de p...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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