Cadenas de Markov

C si h es el hiperplano determinado por e1 e2

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Unformatted text preview: atriz de columnas u1 , u2 , . . . , uk . Se sugiere fraccionar la demostraci´n en dos pasos: o Paso 1. u1 , . . . , uk ortogonales. En ese caso, el volumen es u1 . u2 . . . . . uk . Por la ortogonalidad, U tr U = diag( u1 2 , u2 2 , . . . , uk 2 ) y entonces (det U )2 = u1 2 · u2 2 · . . . · uk 2 . Paso 2. En el caso general, ni el determinante de U ni el volumen del paralelep´ ıpedo cambian cuando el conjunto de vectores se ortogonaliza por el siguiente procedimiento (de Gram-Schmidt): Se deja u1 incambiado. Se reemplaza u2 por ese mismo vector m´s un m´ltiplo de u1 para que el resultado sea ortogonal a u1 . Se a u reemplaza u3 por u3 m´s una combinaci´n lineal de u1 y u2 de modo que el resultado a o sea ortogonal a u1 y a u2 ,etc. (b) Deducir que, si P es una matriz de k × k , entonces el paralelep´ ıpedo de lados P u1 , P u2 , . . ., P uk tiene volumen | det U |.| det P |, y extender el resultado a una figura medible cualquiera: Si C tiene volumen V , entonces P C = {P u : u ∈ C } tiene volumen V| det P |. (c) Si H es el hiperplano determinado por e1 , e2 , . . . , ek y P H = H entonces para cada regi´n medible A en H, el area o volumen k − 1-dimensional de P A es | det P | o ´ por el area de A. ´ Se sugiere observar que si, para cualquier B ∈ H, definimos C (B ) = {λx : x ∈ B, 0 ≤ λ ≤ 1}, entonces C (P A) = P C (A) y vol(C (B )) = dist(O, H)´rea(C (B )), a √ donde dist(O, H) (= 1/ k ) es la distancia del origen al hiperplano H. Ejemplo 1.5.1 Consideremos el siguiente paseo al azar con barreras reflectoras: Introducci´n a la probabilidad. o 1.5. Teorema de convergencia de probabilidades. 11 Una part´cula parte del nivel (estado) X0 = 0, y en cada instante 1, 2, . . . se ı desplaza al nivel una unidad superior o una unidad inferior, con probabilidades respectivas p y q (p + q = 1), a menos que haya alcanzado los niveles −a o b. En ese caso, si est´ en −a pasa a −a + 1 con probabilidad 1, y si est´ en b, a a pasa a b...
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