Cadenas de Markov

O 14 tiempos esperados de absorcion 7 712 512 cuya

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Unformatted text preview: verificar que cualquiera sea el vector z , Qn z → 0. Si | z | denota el m´ximo de los valores absolutos de las componentes de z , a entonces | Qz |≤ (5/6) | z |, lo que implica | Qn z |≤ (5/6)n | z |→ 0. 0 (I − Q)−1 R Se concluye que existe el l´ ımite, y vale P ∞ = . 0 I Para calcular esta matriz observemos que (I − Q)−1 R es la matriz M soluci´n de la ecuaci´n R = (I − Q)M , que en nuestro caso se reduce a o o 1 −5/6 0 2/6 M= 1/6 0 1/6 1/6 , Introducci´n a la probabilidad. o ´ 1.4. Tiempos esperados de absorcion. 7 7/12 5/12 cuya soluci´n es o . 1/2 1/2 El an´lisis precedente nos muestra condiciones bajo las que existe el l´ a ımite de las potencias de P , y nos dice cu´nto vale. Estos resultados est´n resumidos a a en el enunciado siguiente. Teorema 1.3.1 Cuando la matriz de probabilidades de transici´n de una cao QR dena de Markov homog´nea finita es de la forma P = e , donde Q es 0I una matriz cuadrada con (I −Q) no singular y con la propiedad limn→∞ Qn = 0, entonces 0 (I − Q)−1 R lim P n = . n→∞ 0 I Ejercicios. Ejercicio 1.3.1 Proponer modelos para describir las situaciones descritas en los ejemplos 2 y 3 de 1. En el caso del Ejemplo 2, suponer que cada usuario utiliza el sistema un n´mero entero de unidades de tiempo. Al cabo de cada unidad de u tiempo, deja el equipo con probabilidad p y permanece por una unidad m´s con a probabilidad 1 − p. Al principio de cada unidad de tiempo puede llegar un nuevo usuario, con probabilidad q , o ninguno, con probabilidad 1 − q . Cuando est´n todas a las computadoras ocupadas, si llega un nuevo usuario, ´ste se retira sin utilizar el e sistema. Cada individuo, procede con independencia del resto. Ejercicio 1.3.2 ¿Cu´l es la probabilidad de ganar en el siguiente juego de dados? a El jugador arroja dos dados simult´neamente. Si obtiene suma 7 u 11, gana, en caso a contrario, llamemos a a la suma. Si no gana luego de la primera jugada, vuelve a arrojar los dos dados, y gana cuando vuelve a sacar a, pierde cuando saca 7 u 11, y repite la operaci´n cuando el resultado no es 7, 11, ni a. o 1.4 Uso de los m´todos matriciales de §1.3 e...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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